león-sotelo: Calculo Integral

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lunes, 30 de abril de 2012

Osborn´s Rule

This rule is called Osborn's rule, and you have to be a bit careful when using it. That's because sometimes the sin2 term is "hidden".

For example, remember the trig identity 1+tan2(q) = sec2(q).

Well, the corresponding hyperbolic identity is 1-tanh2(x) = sech2(x).

So the sign has changed, and that's because tan is really sin/cos, so the tan2 contains a hidden sin2 within it.

Here's a table of the most common identities, both the trig versions and the hyperbolic versions.

Trig identity Hyperbolic identity

cos2(x)+ sin2(x)=1 cosh2(x)- sinh2(x)=1

sin(2x)=2sin(x)cos(x) sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)

cos(2x)=cos2(x)-sin2(x) cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)

tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x)) tanh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x))

sin(A)+sin(B)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinh(A)+sinh(B)=2sinh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

sin(A)-sin(B)=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] sinh(A)-sinh(B)=2cosh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

cos(A)+cos(B)=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosh(A)+cosh(B)=2cosh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

cos(A)-cos(B)=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosh(A)-cosh(B)=2sinh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

1+tan2(x)=sec2(x) 1-tanh2(x)=sech2(x)

Notice that the sign has changed in the identities in rows 1, 3, 4, 8 and 9 in the above table, as each involves a product of sines.

Para concretar mas, he expandido sin(12x) y sinh(12x) donde aparecen senos elevados a las potencias
1,3,5,7,9,11.Pues bien, de acuerdo con lo que dice la regla de Osborn han cambiado de signo tan solo laspotencias 3,7 y 11 asi que cuidado con la aplicacion de esta regla.La 5 y la 9 no cambian porque
cambian de signo un numero par de veces por lo que se quedan lo mismo.

Expansion del sin(13x)=

Expansion del Sinh(13x)=

Cada vez que apece un seno al cuadrado la función cambia a hiperbólica y cambia de signo.Aqui cambian de signo las potencias del seno 11,7,3.Es decir potencias de la forma 4n-1.¿Por qué no cambia la potencia 13?.Porque 13=2+2+2+2+2+2+1 y cambia de signo un número par(seis) de veces con lo que no cambia nada.Igual le ocurre a la potencia novena 9=2+2+2+2+1 donde cambia de signo 4 veces con lo que no cambia nada.Lo mismo para la 5ª potencia del seno en la que tenemos 5=2+2+1 que cambia de signo dos veces con lo cual (-)*(-)=(+) y de nuevo no cambia nada.En resumen cambian las potencias n tales que n=3 modulo 4.

León-Sotelo.

domingo, 11 de mayo de 2008

Aplicaciones de la Integral

lunes, 4 de febrero de 2008

Heaviside's Method

Aqui lo tenemos en Sistemas de Control de la Universidad de Oviedo:

http://isa.uniovi.es/~idiaz/ADSTel/Tema2c_ADS.pdf

Otra:

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/6.5.SolucionEdos/FESolucionEdos.pdf

Se expone aqui el metodo de Heaviside para descomponer en fracciones simples:

http://www.math.wisc.edu/~mason/q8.pdf

Esta página corresponde a la tan conocida Math 222 del profesor Willson en Wisconsin por lo que puedes trastear por ella y siempre aparecerá algo nuevo.

http://www.math.wisc.edu/~mihalek/S07Math222/Quiz1.pdf

León-Sotelo

sábado, 2 de febrero de 2008

Potencias trigon.

Aunque es practicamente un curso bueno de integración lo hemos detenido en las integrales de las potencias trigonometricas:

http://webdia.cem.itesm.mx/ac/rsantiag/talleres/apoyosm16/potenciastrig.pdf
pero siempre podemos ir a lo general:

http://webdia.cem.itesm.mx/ac/rsantiag/talleres/resumenes.htm

Aquí tenemos un video de las integrales a las que nos referimos:

http://wks7.itlab.tamu.edu/Math152/152wir4A.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node13.html

http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#Ejercicios_resueltos
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/integralindef.pdf

http://ares.unimet.edu.ve/matematica/fbmi02hv/RES%DAMENES/R5%20-%20M%E9todos%20de%20Integraci%F3n.doc

"integrales de la forma sec tan" en Google
"integration by reduction trigonometric"

http://es.youtube.com/watch?v=ULP4IV2mtZM

Si de todos modos no sabes por donde atacarla aquí te lo dicen pasito a pasito:

http://calc101.com/webMathematica/integracion.jsp#topdoit
funciona de momento con la clave calc404

http://books.google.es/books?id=bLlGhMaSoBgC&pg=PA103&dq=integration+by+reduction+trigonometric&ei=T1evR5fLN4jcygSOxfGdBg&sig=ZNG-mKw8eP3IuKJC8FtzUVr_FYI#PPA111,M1

León-Sotelo

domingo, 13 de enero de 2008

Jacobiano transform.

x=rcost Dx/Dr=cost Dx/Dt=-rsint
y=rsent Dy/Dr=sent Dy/Dt= rcost
J(x,y/r,t)=r(cost)^2+r(sent)^2=r
En la integral debemos de hacer el cambio a polares y además multiplicar por el valor de J.Ejemplos:
http://www.innova.uned.es/webpages/ildef/Mate_III_Econ/int_doble.pdf
Vamos con la transformación inversa:
r=sqrt(x^2+y^2)
t=arctan(y/x)
Dr/Dx=x/sqrt(x^2+y^2) Dr/Dy=y/sqrt(x^2+y^2)
Dt/Dx=-y/x^2((y^2/x^2)+1) Dt/Dy=1/x((y^2/x^2)+1)
Haciendo el determinante obtenemos J(r,t/x,t)=1/sqrt(x^2+y^2)
Obsérvese que J(x,y)=r=1/J(r,t)=sqrt(x^2+y^2)

A useful fact is that the Jacobian of the inverse transformation is the reciprocal of the Jacobian of the original transformation:
Aqui hay una prueba de todo ello:
http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleIntegration/jacobians.htm
francisco.lsotelo@gmail.com

miércoles, 17 de octubre de 2007

Integrales impropias

http://www2.uah.es/josem_salazar/material_docente_quimicas/calculo/teoria/t6/t6.pdf
http://www.masquemates.com/calculo/07-impropias.pdf
http://www.ma2.us.es/pub/indexdocencia.html
http://www.esi2.us.es/~mbilbao/calculo.htm
http://www.ucm.es/info/metodos/programas/ci/ci-pepe.htm#exm
Aqui tenemos hasta videos:
http://www.dmae.upct.es/~juan/videosfund/videosfund.htm
http://online.math.uh.edu/HoustonACT/videocalculus/
y los infinitesimos equivalentes por si los necesitamos:
http://www.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Formula_de_Taylor/infinitesimos.pdf

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domingo, 23 de septiembre de 2007

Integral par impar

Integral de fnciones pares e impares:

http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series.htm

Integrales funciones trigonometricas pares e impares:

http://www.terra.es/personal2/mozafen/UNED/Mate_III_ADE/Apuntes/trigonometricas.pdf

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viernes, 11 de mayo de 2007

Variacion constantes

Sea la ecuación diferencial y'''+my''+ny'+py+q=Q(x)
Haciendo variables con x los parámetros en principio
constantes en la homogénea obtenemos el sistema
que resolvemos por Cramer calculando L',M'yN' que
una vez integradas nos dan L,M y N

L'y(1)+ M'y(2)+N'y(3)=0
L'y'(1)+M'y'(2)+N'y'(3)=0
L'y''(1)+M'y''(2)+N'y''(3)=Q(x)

L,M,N son las tres constantes que acompañan a cada una
de las tres soluciones de la homogénea y que varían al
hacerlas depender de x: L=L(x),M=M(x),N=N(x)

Véase capítulo IV página 113
http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

lunes, 7 de mayo de 2007

Integral.Error

S(n)= f(1)+f(2)+...+f(n) es una sobrestimación de
Int(f(x),x,1,n+1)
S(n)-f(1)=a(2)+a(3)+...+f(n) es una subestimación de
Int(f(x),x,1,n)
Int(f(x),x,1,n+1)<=S(n)<=f(1)+Int(f(x),x,1,n) Int(f(x),x,n+1,oo)<=Error=S-S(n)<=Int(f(x),x,n,oo) La ampliación de todo esto en: http://www.math.tamu.edu/~mbelk/RemaindersIntegral.pdf
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/series.7/index.html

Un buen enlace para Simpson,formula del trapecio,punto medio etc
http://gata.uv.es/~mulet/cursos/cn/intnum.pdf

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domingo, 6 de mayo de 2007

Riemann

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/Math21BHWDIRECTORY/Definite.pdf

Lim n=>oo de (Sum((1/n)*f(i/n),i,1,oo)=Int(f(x),x,0,1)

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sábado, 5 de mayo de 2007

T.fundamental.Paramétricas

H(x) = Int (f (t),t,v(x),u(x))

donde u(x) y v(x) son ambas diferenciables en [a, b].

Tenemos :

H '(x) = f(v(x))*v '(x) - f(u(x))*u '(x)
si f depende de x y de t f=f(x,t) aqui habria que añadir f '(x,t) y obtendriamos la fórmula de Leibniz.Ver:

http://www.ciencias.uniovi.es/titulaciones/asignaturas/fisica/plan2002/AM/Apuntes/Cuadrevcap5.doc
en el paragrafo 5.5.3 y

http://www.profes.net/rep_documentos/Monograf/SEL04pteofc9c.PDF

Ejemplos:

d/dx(Int(e^(-t^2),t,x,x^2))=F(x^2)-F(x)=e^(-x^4)*2x-e^(-x^2)

d/dx(Int(1/(1-t^2),t,3x,x^2))=(1/(1-x^4))*2x-(1/(1-(3x)^2))*3

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La ampliación para integrales paramétricas puede comenzar a estudiarse aquí:

http://www.ciencias.uniovi.es/titulaciones/asignaturas/fisica/plan2002/AM/integrales_dependientes_de_un_pa.htm Observemos que con poco mas obtenemos la derivación paramétrica:
http://mathworld.wolfram.com/LeibnizIntegralRule.html
http://mathworld.wolfram.com/IntegrationUndertheIntegralSign.html

y de forma más asequible y visual:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_using_parametric_derivatives
http://www.youtube.com/watch?v=NOMSmS7K9Tw
http://www.dma.fi.upm.es/mpgomez/asigna00.html
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/05-06/primerciclo/analisis/Problemas/1eulerianas.pdf
http://personal.telefonica.terra.es/web/imm/Imagenes/2ADE/MatIII/ejercicios/int_eulerianas.pdf

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