Osborn´s Rule

This rule is called Osborn's rule, and you have to be a bit careful when using it. That's because sometimes the sin2 term is "hidden".




For example, remember the trig identity 1+tan2(q) = sec2(q).



Well, the corresponding hyperbolic identity is 1-tanh2(x) = sech2(x).



So the sign has changed, and that's because tan is really sin/cos, so the tan2 contains a hidden sin2 within it.



Here's a table of the most common identities, both the trig versions and the hyperbolic versions.



Trig identity Hyperbolic identity

cos2(x)+ sin2(x)=1 cosh2(x)- sinh2(x)=1

sin(2x)=2sin(x)cos(x) sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)

cos(2x)=cos2(x)-sin2(x) cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)

tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x)) tanh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x))

sin(A)+sin(B)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinh(A)+sinh(B)=2sinh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

sin(A)-sin(B)=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] sinh(A)-sinh(B)=2cosh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

cos(A)+cos(B)=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosh(A)+cosh(B)=2cosh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

cos(A)-cos(B)=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosh(A)-cosh(B)=2sinh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

1+tan2(x)=sec2(x) 1-tanh2(x)=sech2(x)

Notice that the sign has changed in the identities in rows 1, 3, 4, 8 and 9 in the above table, as each involves a product of sines.

Para concretar mas, he expandido sin(12x) y sinh(12x) donde aparecen senos elevados a las potencias
1,3,5,7,9,11.Pues bien, de acuerdo con lo que dice la regla de Osborn han cambiado de signo  tan solo laspotencias 3,7 y 11 asi que cuidado con la aplicacion de esta regla.La 5 y la 9  no cambian porque
cambian de signo un numero par de veces por lo que se quedan lo mismo.

Expansion del sin(13x)=


Expansion del Sinh(13x)=







Cada vez que apece un seno al cuadrado la función cambia a hiperbólica y cambia de signo.Aqui cambian de signo las potencias del seno 11,7,3.Es decir potencias de la forma 4n-1.¿Por qué no cambia la potencia 13?.Porque 13=2+2+2+2+2+2+1 y cambia de signo un número par(seis) de veces con lo que no cambia nada.Igual le ocurre a la potencia novena 9=2+2+2+2+1 donde cambia de signo 4 veces con lo que no cambia nada.Lo mismo para la 5ª potencia del seno en la que tenemos 5=2+2+1 que cambia de signo dos veces con lo cual (-)*(-)=(+) y de nuevo no cambia nada.En resumen cambian las potencias n tales que n=3 modulo 4.

León-Sotelo.

Formulario Math Discreta

http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall04/cos341/cheat.pdf

leonsotelo

Ángulos enteros construibles

http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants

leonsotelo

Binomio fórmulas

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/capitulo3a.pdf
http://tlapixqui.izt.uam.mx/Mat-Fin/Mat_Fin-5.pdf

C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=C(6,3)
C(2,0)+C(3,1)+C(4,2)+C(5,3)+C(6,4)=C(7,4)
(C(3,0))^2+(C(3,1))^2+(C(3,2))^2+(C(3,3))^2=C(6,3)--->C(2m,n)

(1+x)^n= C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)+... =2^n (para x=1)
Derivando n*(1+x)^(n-1) o integrando obtenemos
C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+...+nC(n,n)=n*2^(n-1)
C(n,0)+1/2*C(n,1)+1/3C(n,2)+...+1/(n+1)*C(n,n)=(2^(n+1)-1)/(n+1)
C(2n,0)+C(2n-1,1)+C(2n-2,2)+...+C(n,n)=a_2n+1 que es el 2n+1 número de Fibonacci

EXTENDED BINOMIAL THEOREM
C(-m,r) = (-m)*(-m-1)*(-m-2)*...*(-m-r+1)/r!
C(-1/3,3)= (-1/3)(-4/3)(-7/3)/3! = -14/81

http://www.mathematicsonline.co.in/iitjee.htm

Un buen formulario para Discreta de Princenton:
http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall04/cos341/cheat.pdf

Este lo voy a poner por nostalgia...

http://www.thiel.edu/mathproject/atps/tbloc.htm

Suma de potencias

S(n,1)=n(n+1)/2
S(n,2)=n(n+1)(2n+1)/6
S(n,3)=n^2(n+1)^2/4
S(n,4)=n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)/30
S(n,5)=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12

Suma longitudes,Pentagram

Este uno de los problemas que mas me han gustado y es digno de figurar
aquí.
http://www.math.purdue.edu/pow/spring2001/pdf/solution12.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram

Areas.Heron y Briggs

Tenemos este enlace doble:

http://www.arrakis.es/~mcj/areas.htm
http://www.educajob.com/xmoned/temarios_elaborados/matematicas/tema38.pdf

Y este otro para demostración animada y elegante
del área del triángulo igual que hicimos con la del trapecio.

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/contenido.htm

Fórmulas trigonometricas

Aquí ha y un "puñao" de ellas:
http://ingenieria.uaslp.mx/Recursos/Formularios/Trigonometr%C3%ADa.doc
http://www.titulosnauticos.net/trigonometria/Trigonometria.pdf
http://www.mathnstuff.com/gsp/alltext.htm
http://euclid.colorado.edu/~ernstd/Unit_Circle.pdf
Para la resolución de ecuaciones trigonométricas:

sen(a)=sen(b)
a+b=pi +2kpi(senos angulos suplementarios son iguales+las vueltas)
a=b+2kpi (senos angulos que difieren en vueltas completas iguales)
o bien decir que los senos son iguales en a y en (180-a) por lo que las soluciones son b=a+2kpi, b=(180-a)+2kpi

sen(a)=cos(b)=> sen(a)=sin(pi/2 -b)
a+pi/2-b=pi +2kpi
a=pi/2-b +2kpi
Otro modo:
Si sen(a)=cos(b) nos indica que a+b=90º es decir para b=90-a con lo que una solución es b=90-a de donde una solución es b=(90-a)+2kpi ¿Cuando ocurre esto otra vez? vemos que ocurre en (a-90) con una pequeña figurita por lo que otra solucion el 3er cuadrante es b=(a-90)+2kpi
a+b=-90+2kpi
a-b = 90+2kpi
En el caso de:
tg(a)=tg(b) solo existe a=b+kpi

Observese que si k es entero no es necesario el signo +/-
que solo se pondrie si k fuera natural.

Para comprobar tenemos este problema:

http://hcor_2.vtrbandaancha.net/Ec.%20Trigonometricas.pdf
http://faculty.missouristate.edu/l/lesreid/AdvSol21.html
http://lyceeenligne.free.fr/spip/IMG/pdf/trigo-2.pdf
http://home.scarlet.be/~ping1339/gonio.htm#cos(u)-=-cos(v)

León-Sotelo