Media,Varianza,.Generatriz.

http://www.albany.edu/~mark/classes/367/e200ssol.pdf

Esta almacenado en la biblioteca del Ordenador.Combinatoria.

Generating function

http://www.csie.ndhu.edu.tw/~rschang/dmchap9.ppt
(En diapositiva 13 pueden verse separadores para no consecutivos)
Este problema podemos hacerlo también así:
Tengo 4 números que no pueden tener pares consecutivos.Me quedan 15-4=11 números para emplearlos como separadores.Tengo 5 huecos entre los cuatro números para poner los 11.
x1+x2+x3+x4+x5=11 con las condiciones x1,x5>=0 x2,x3,x4>=1 con lo que
x1+x2+x3+x4+x5=8 es decir CR(5,8)=C(12,8)=C(12,4)=495

leon-sotelo@hotmail.com

Aritmética modular

http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/euler-fermat.html#1

http://matetam.com/glosario/teorema/pequeno-teorema-fermat

leonsotelo

Combinatoria Descartes

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/indice.htm

leon-sotelo@hotmail.com

Permutaciones circulares repetición

Expresión cerrada para el numero de permutaciones circulares con elementos repetidos para cualquier multiconjunto de elementos. Su fórmula es:
(1/N)Suma(phi(d)(N/d)!/((b1/d)!(b2/d)!(b3/d)!), dB)
Esta suma está extendida a todos los divisores de B
N=Suma de todas las bolas de distintos colores b_1+b_2+b_3
Phi(d) es Euler totient para cada divisor de B
B=mcd(b_1,b_2,b_3)
d=divisores de B
Si el máximo común divisor de los bi es 1, esto se reduce a (N-1)!/(b1! b2!b3!).

Apliquemos esto al caso de 20 bolas 4 de un color,6 de otro y 10 de otro
Mcd(4,6,10)=2 por lo que la suma hemos de extenderla a los divisores de 2
que son 1 y 2
Para el 1 phi(1)*N/1=1*20=20
Para el 2 phi(2)*N/2=1*10=10 y la formula con estos dos sumandos quedará:
(1/20)*[20!/4!6!10!+10!/2!3!5!]=1940064

Todo esto lo tenemos ampliado aqui:
En este hilo se obtenia una
expresión cerrada para el numero de permutaciones circulares con elementos repetidos para cualquier multiconjunto de elementos
http://groups.google.es/group/es.ciencia.matematicas/browse_thread/thread/99cfa637abc4d3dc/8a9e0da5c29b2cdc?hl=es&lnk=gst&q=elementos+repetidos#8a9e0da5c29b2cdc.

Si aplicamos lo que creo nos indica el hilo de arriba al caso de 3 bolas de un color y 3 de otro tenemos
N=3+3=6
B=Mcd(3,3)=3 y la suma que nos indica la fórmula (1/N)Suma(phi(d)(N/d)!/((b1/d)!(b2/d)!(b3/d)!), dB) hay
que extenderla a los divisores de 3 es decir al 1 al 3.
Para el 1 phi(1)*(N/1)!=1*6=6
Para el 3 phi(3)*(N/3)!=2*(6/3)!=2*2! 4 con lo que quedaria:
(1/6)(phi(1)(6/1)!/((3/1)!(3/1)!) + phi(3)(6/3)!/((3/3)!(3/3)!)) =
(1/6)(6!/(3!3!) + 2*2!/(1!1!)) = (1/6)(20 + 4) = 24/6 = 4
Que es lo que obteniamos para el número de permutaciones circulares. Quedaban reducidas a 3, considerando la simetría.
Aquí tenemos:
http://theory.cs.uvic.ca/gen/neck.html
que salen 3 para los brazalets y 4 para los Necklaces
A bracelet is a necklace that can be turned over.

Binomio fórmulas

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/capitulo3a.pdf
http://tlapixqui.izt.uam.mx/Mat-Fin/Mat_Fin-5.pdf

C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=C(6,3)
C(2,0)+C(3,1)+C(4,2)+C(5,3)+C(6,4)=C(7,4)
(C(3,0))^2+(C(3,1))^2+(C(3,2))^2+(C(3,3))^2=C(6,3)--->C(2m,n)

(1+x)^n= C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)+... =2^n (para x=1)
Derivando n*(1+x)^(n-1) o integrando obtenemos
C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+...+nC(n,n)=n*2^(n-1)
C(n,0)+1/2*C(n,1)+1/3C(n,2)+...+1/(n+1)*C(n,n)=(2^(n+1)-1)/(n+1)
C(2n,0)+C(2n-1,1)+C(2n-2,2)+...+C(n,n)=a_2n+1 que es el 2n+1 número de Fibonacci

EXTENDED BINOMIAL THEOREM
C(-m,r) = (-m)*(-m-1)*(-m-2)*...*(-m-r+1)/r!
C(-1/3,3)= (-1/3)(-4/3)(-7/3)/3! = -14/81

http://www.mathematicsonline.co.in/iitjee.htm

Un buen formulario para Discreta de Princenton:
http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall04/cos341/cheat.pdf

Este lo voy a poner por nostalgia...

http://www.thiel.edu/mathproject/atps/tbloc.htm

Pigeonhole Principle

Lo mas simple posible porque aqui nada mas que lo lies un poco...

http://hk.geocities.com/maths_pigeonhole_principle/main.htm
http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs280/2002sp/pigeonhole%20problems.htm
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/casillas/index.html
Y aquí un estudio mas serio de Pablo Fernandez Gallardo:
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/index.htm

León-Sotelo

Combinations with Duplicate Objects

Todo un clasico en estas tierras:
http://mathforum.org/library/drmath/view/56197.html

y no podia faltar El primcipio de Inclusión Exclusion

http://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math391I/Inclusion-Exclusion.pdf

La generalizacion del principio está en el Grimaldi y en mi fichero titulado
"Divisibilidad y Venn" en el otro blog:

http://leonsotelo.wordpress.com/2008/12/05/divisibilidad-y-venn/

http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/courses/hw6.pdf

León-Sotelo

Desarreglos k puntos fijos

La formula para desarreglos con ningun punto fijo:

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + n!/4! - ... + (-1)^n*n!/n!

La fórmula de los desarreglos con k puntos fijos:

D(n,k)=(n!/k!)*Sum((-1)^k/k!,k,0,n-k)) que coincide para n grande y k fijo con (n!/k!)*e^(-1)

Así se ve o se recuerda mejor:
D(n,k)=C(n,k)*D(n-k)

Generalización Binomial Theorem:

(-1)^k*C(n+k-1,k))=C(-n,k)

Ejemplo:1/(1+x)^7=(1+x)^(-7)=C(0+7-1,0)-C(1+7-1,1)X+C(2+7-1,2)-...
=C(6,0)-C(7,1)x+C(8,2)x^2-C(9,3)x^3+...=1-7x+28x^2-84x^3+...

También (-1)^(n+k) C(k-1,n-1)=C(-n,-k)

(sacado de Introduction to Combinatorial Mathematics de Liu)
Para andar por casa:

C(-7,3)=(-7)(-8)(-9)(10).../(-10)(-11)(-12)...*3!=-(7*8*9)/3! = -C(7+3-1,3!)
C(-3,-7)=(-3)!/(4!)*(-7)!=(-3)(-4)(-5)(-6)/4!=C(6,2)=15



Permutaciones circulares muy claritas.Profesor theta:
http://www.ilovemaths.com/classroom.asp
http://www.ilovemaths.com/3permcirc.asp

León-Sotelo