Numeros P-ádicos

Los tenemos en el otro blog:

http://leonsotelo.wordpress.com/2011/01/16/numeros-p-adicos/?preview=true&preview_id=269&preview_nonce=27d1b9a069

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Formulario Math Discreta

http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall04/cos341/cheat.pdf

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Congruencias lineales

6x=3 (mod 9)=> 6x-9y=3 =>2x-3y=1 (mod 3) => 2x=1(mod 3)=> 4x=2(mod 3) =>x=2 (mod 3)=> x=2,5,8
3x=3 (mod 5) => x=1 (mod 5)
3x=2 (mod 5) => 6x=4 (mod 5)=>x=4 (mod 5)
7x=4 (mod 10)=> 21x=12 (mod 10) => x=2 (mod 10)
6x=3 (mod 4) => 2x=3 (mod 4) 2x-4y=3 2(x-2y)=3 no hay soluciones
10x=3 (mod 12) => mcd(10,12)=2 como 2 no divide a 3 no hay soluciones
10x=6 (mod 12) => mcd(10,12)=2 que divide a 6 tiene 2 soluciones (el mcd) x=3,x=9
7x=3 (mod 12) como 7 y 12 son coprimos=> 1 solución 35x=15=> -x=3 x=-3=9
6x=15 (mod 21) como 3 divide a 6 y 21 hay 3 soluciones mod 7 x=6,x=13,x=20

http://www.rogeliodavila.com/MD-UNITEC/Prof.%20Falcon%20Notas/teoria%20de%20los%20numeros%20v02.ppt#256,1,Teoría de Números

http://ma1.eii.us.es/miembros/cobos/Utilidades%20IMD/Sistemas%20de%20congruencias.htm

Primos progresion aritmetica

If a and b are coprime, then the arithmetic progression a·n + b contains infinitely many primes

leon-sotelo@hotmail.com

Triángulos enteros

http://elparaiso.mat.uned.es/paraiso/temas.php?id=1098red

Aritmética modular

http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/euler-fermat.html#1

http://matetam.com/glosario/teorema/pequeno-teorema-fermat

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Triplets de Pythagore - Tables

Cette table de triplets de Pythagore primitifs est obtenue dynamiquement par un JavaScript,en balayant les valeurs de r>s>0, r et s de parité opposée et premiers entre eux avec la formule :

x=2rs
y=r²-s²
z=r²+s²

(démonstrations)

http://mathafou.free.fr/pba/sol000.html

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html#pythagoras

Division entera y congruencias

En el conjunto de los números enteros,si D es el dividendo y d =/= 0 es el divisor,existen y son únicos dos enteros c (cociente) y r (resto) tales que:

D = d . c + r con r mayor o igual que 0 y menor que el módulo de d.

En la división euclidiana r es positivo y menor que el módulo del divisor.
http://www.math.mtu.edu/mathlab/COURSES/holt/dnt/divis5.html

http://www.math.hawaii.edu/~lee/courses/Division.pdf
En las congruencias modulo m el estrictamente positivo siempre es m existiendo sin embargo restos negativos.Dos enteros a y b son congruentes si la diferencia a-b es divisible por el entero positivo m. El mejor sitio de consulta lo tenemos aquí:
http://ma1.eii.us.es/Material/IMD_ii_Ap.pdf

Euler zetas y Rieman

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function
Mas claro todavia:
http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=EulerZetaFunction
y todavia mas:
http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/devlin.pdf
Un poco mas allá:
http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2051%20Multizeta%20functions.pdf
No dejar de hojear:
http://plus.maths.org/issue19/features/infseries/
y el clásico de Robin Chapman:
http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf
y algunos valores:
http://www.sosmath.com/CBB/viewtopic.php?=&p=77415


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Divisibilidad y Primos

En un problema de divisibilidad, las mejores herramientas suelen ser:
si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.
si a / b y b =/=0 entonces el módulo de b es mayor o igual que el módulo de a.

http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202005-06/Material/Aritmetica/Aritmetica.pdf

Dados dos números enteros a y b (con a distinto de 0), se dice que a divide a b, y lo escribimos como a/b,si existe un c∈Z tal que b= ac.
También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a.
Algunas propiedades derivadas de la definición anterior:

1/a
a/0
a/b y a/c ⇒ a/b+c , ab+c o mas generalmente:
a/b y a/c ⇔ a/bx+cy para cualesquiera x, y∈ Z
a/b y b/a ⇒ a = b o bien a = -b

Algoritmo de Euclides

Este método se basa en la siguiente propiedad:
si A y B son enteros entonces DCM(A,B) = DCM(A-B,B)
Pueden encontrar la demostración aquí.

Buscando Primos
Una forma de ver si un número es primo es probar dividirlo por todos los números menores que él y si ninguno lo divide, ¡ganamos!, el número es primo
Sin embargo, el divisor (distinto de n) más grande posible es n/2, así que podríamos probar sólo hasta n/2 en vez de n-1. Pero si n/2 es un número entero que es divisor de n, entonces 2 también es divisor (¡porque n dividido 2 es entero!), pero ya probamos antes si el 2 dividía a n. Así que no hace falta probar con el n/2. Entonces el siguiente divisor más grande posible es n/3, pero por un razonamiento análogo, tampoco hace falta probarlo ya que antes habíamos probado con 3.
¿Hasta cuando podemos repetir esto? Bueno hasta que n/i = i, o sea hasta que n = i^2, o sea hasta que i=sqrt(n). Una forma más formal de ver esto es que si d es un divisor de n, entonces n/d es un divisor de n. Así que en vez de probar con estos dos números hace falta probar sólo con el más chico. Pero si uno es mayor que sqrt(n) entonces el otro es menor que n/sqrt(n) =sqrt(n). Por ello el más chico seguro que es menor que n y entonces sólo hace falta probar hasta sqrt(n)
Vamos a probar si 7247 es primo
Sqrt(7247)=85.129 debemos probar hasta con el número primo menor o igual que 85.129 que
en este caso es el 83

Como lectura esta muy bien el Teorema de los números primos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/16-2-o-primos.html

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Un clásico entre los clásicos

¡¡Greg Gamble!!

Con sus lecturas comencé mis paseos olímpicos por la red.Vaya aquí su nombre para que por lo menos no lo olvide.

http://www.maths.uwa.edu.au/~gregg/
http://www.madras.fife.sch.uk/maths/enrichment/index.html

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Carmichael totient y primitivas

Cálculo de Carmichael y Euler totient:

A primitive root for a prime number p is one whose powers generate all the non-zero integers modulo p. For example, 3 is a primitive root modulo 7 since 3 = 3^1, 2 = 3^2 mod 7, 6 = 3^3 mod 7, 4 = 3^4 mod 7, 5 = 3^5 mod 7, 1 = 3^6 mod 7.

http://home.earthlink.net/~usondermann/eulertot.html

http://math-it.org/Mathematik/Zahlentheorie/Carmichael.html

http://reflections.awesomemath.org/2007_2/carmichael.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n

http://www.brynmawr.edu/math/people/stromquist/numbers/primitive.html

http://www.math.mtu.edu/mathlab/COURSES/holt/dnt/

http://home.comcast.net/~babdulbaki/math/Midys_Theorem.pdf

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Pell Equation

http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/monografias/basic/alanya_ps/cap8.pdf http://www.math.fau.edu/Richman/pell-m.htm
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html
http://www.math.mtu.edu/mathlab/COURSES/holt/dnt/pell4.html
http://frontend.bioinfo.rpi.edu/zukerm/cgi-bin/dq.html

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Paridad

Perelman nos enseña paridad:

http://www.geocities.com/problemasyexperimentos/cap24em.html

http://www.dma.fi.upm.es/fleury/algofitmoFleury.htm

http://www.professeurs.polymtl.ca/michel.gagnon/Disciplinas/Bac/Grafos/EulerHam/euler_ham.html

http://www.unizar.es/ttm/2006-07/TOPOLOGIAI07.doc


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Resto chino de E.L. Lady

Elegante manera del famoso teorema
http://www.math.hawaii.edu/~lee/courses/Chinese.pdf

Resto chino sofisticado:
http://math2.org/mmb/thread/39678

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Enteros consecutivos

The number of ways in which n may be expressed as a sum of one or more consecutive positive integers is equal to the number of positive odd divisors of n.
50! = 2^47 × 3^22 × 5^12 × 7^8 × 11^4 × 13^3 × 17^2 × 19^2 × 23^2 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47
Divisores impares:23*13*9*5*4*3*3*3*2^6=93.000.960 formas de expresar 50! como suma de enteros consecutivos.


http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Secondary_Units/consecnumbers.aspx
http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Algebra/JacksonsCon.aspx
http://mathforum.org/library/drmath/view/55979.html
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/MercheSanchez/Problema%20numeros.pdf

http://centromatematico.uregina.ca/mp/previous2002/feb03sol.html
http://www.qbyte.org/puzzles/p092s.html

http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=507&part=solution

Euler totient

Si mcd(a,m)=1 entonces a^fi(m)=1 mod m

Hallar los dos ultimos digitos de N=17^19^23^29^31^37.

17^19^23^29^31^37 (mod 100) fi(100)=40

19^23^29^31^37 (mod 40) fi(40)=16

23^29^31^37 (mod 16) fi(16)=8

29^31^37 (mod 8) fi(8)=4

31^37 (mod 4) fi(4)=2

37 (mod 2) fi(2)=1 Ahora procedemos al revés:

37=1 (mod 2)

31^37 =31^1=31=3 (mod 4)

29^31^37 =29^3=5^3=5 (mod 8)

23^29^31^37= 23^5=7^5= 7 (mod 16)

19^23^29^31^37 = 19^7=19 (mod 40)

17^19^23^29^31^37 =17^19= 53 (mod 100) que son los dos ultimos digitos

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Sumas de cuadrados producto

(a^2+b^2) (A^2+B^2) = (aA+bB)^2 + (aB-bA)^2

(a^2+b^2+c^2+d^2) (A^2+B^2+C^2+D^2) = (aA+bB+cC+dD)^2 + (aB-bA+cD-dC)^2 + (aC-bD-cA+dB)^2 + (aD-dA+bC-cB)^2

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+^z^2)=(ax+by+cz)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2+(ay-bx)^2

http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1343
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20005.5.shtml
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20008.5.shtml

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Palíndromos o Capicuas

a(n)= número de capicuas menores que 10^n

a(n)=2(10^(n/2) -1) si n es par
a(n)=11(10^(n-1)/2) -2 si n es impar


Number of nonzero palindromes less than 10^n.
9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998, 1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998, 10999999998, 19999999998, 109999999998, 199999999998, 1099999999998

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Magic Box.Euclides extendido

http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node7.php3

2322***1***0***#
654****0***1***3
360****1***-3***1
294*** -1***4***1
66*****2** -7***4
30**** -9***32**2
6******20**-71**5
0***** -109**387#

2322*20-654*71=6 y al dividir por 6
387*20-109*71=1

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