http://mathweb.scranton.edu/monks/courses/ProblemSolving/HighSchoolPlaybook.pdf

http://mathweb.scranton.edu/monks/courses/ProblemSolving/HighSchoolPlaybook.pdf

http://mathweb.scranton.edu/monks/courses/ProblemSolving/MathCountsPlaybook.pdf

C:\Documents and Settings\Francisco\Escritorio\Para el Tera\Formulas y formularios

León-Sotelo.

Progresiones armónicas

http://www.educajob.com/xmoned/temarios_elaborados/matematicas/tema08.pdf

http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_04_04_10-Progresiones_Armonicas/0_Progresiones_Armonicas.html

Ejemplo clarito:

2,5,8,11,14,...,3n-1 es una progresión aritmética.
1/2,1/5,1/8,1/11,1/14,...,1/(3n-1) es una PH.

León-Sotelo.

Inecuaciones fraccionarias

http://cibermatex.com/?article546
http://yanokateo.com/?Inecuaciones-Racionales
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Inecuaciones/u2inecte30.pdf
http://math.uprm.edu/academic/courses-help/mate0066/m0066_ver09/sol_inecuac_1var.pdf
http://www.fmat.cl/index.php?s=b0c23bb491c6e548e0fd1729f36fb327&act=attach&type=post&id=4771

Factoreo y Fracc.Algebraicas

Cursos de Factoreo.

http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-31.htm

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/factorizacion-de-polinomios.pdf

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/factorizacion-de-polinomio-algun.pdf

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/factorizamarvin.pdf

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/fracciones-algebraicas.pdf

Y el factoreo olimpico:

http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-03.htm

http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm

León-Sotelo.

Desigualdades y medias.G.Capitán.

http://garciacapitan.auna.com/escritos/

León-Sotelo

Calculo mates siempre

http://matematica.50webs.com/

León-Sotelo

Lo mejor de E.S.O, BACH

A diferencia los mejores problemas:

http://www.iesfelixdeazara.com/departamentos/matematicas/mates1.htm
http://www.sabuco.com/matematicas/index.htm

Para teoría y apuntes:

http://www.arundanet.com/matesxronda/apuntes.php?curso=eso3
http://www.vitutor.com/index.html
http://www.dmae.upct.es/~pepemar/

Si quieres seguir un curso:
http://www.alcaste.com/departamentos/matematicas/secundaria/secundaria.htm
y muchos exámenes:
http://ejerciciosyexamenes.com/index.html
http://bitacoraed.wordpress.com/
y la moda de Álgebra+ Geometría para practicar:
http://www.geogebra.org/cms/

Y desde luego:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/matematicas.htm
http://www.educa.madrid.org/web/ies.avenidadelostor.madrid/matematicas/index.html
http://www.amolasmates.es/

En wikipedia:

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Portada

Videos de Bachillerato y Anaya resueltos:

http://www.telefonica.net/web2/sagrariosolerruiz/

http://carmesimatematic.webcindario.com/M.Secundaria.htm

Otro libro 4º eso con sus problemas resueltos:

http://platea.pntic.mec.es/jfgarcia/

León-Sotelo

Divisibilidad y Primos

En un problema de divisibilidad, las mejores herramientas suelen ser:
si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.
si a / b y b =/=0 entonces el módulo de b es mayor o igual que el módulo de a.

http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202005-06/Material/Aritmetica/Aritmetica.pdf

Dados dos números enteros a y b (con a distinto de 0), se dice que a divide a b, y lo escribimos como a/b,si existe un c∈Z tal que b= ac.
También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a.
Algunas propiedades derivadas de la definición anterior:

1/a
a/0
a/b y a/c ⇒ a/b+c , ab+c o mas generalmente:
a/b y a/c ⇔ a/bx+cy para cualesquiera x, y∈ Z
a/b y b/a ⇒ a = b o bien a = -b

Algoritmo de Euclides

Este método se basa en la siguiente propiedad:
si A y B son enteros entonces DCM(A,B) = DCM(A-B,B)
Pueden encontrar la demostración aquí.

Buscando Primos
Una forma de ver si un número es primo es probar dividirlo por todos los números menores que él y si ninguno lo divide, ¡ganamos!, el número es primo
Sin embargo, el divisor (distinto de n) más grande posible es n/2, así que podríamos probar sólo hasta n/2 en vez de n-1. Pero si n/2 es un número entero que es divisor de n, entonces 2 también es divisor (¡porque n dividido 2 es entero!), pero ya probamos antes si el 2 dividía a n. Así que no hace falta probar con el n/2. Entonces el siguiente divisor más grande posible es n/3, pero por un razonamiento análogo, tampoco hace falta probarlo ya que antes habíamos probado con 3.
¿Hasta cuando podemos repetir esto? Bueno hasta que n/i = i, o sea hasta que n = i^2, o sea hasta que i=sqrt(n). Una forma más formal de ver esto es que si d es un divisor de n, entonces n/d es un divisor de n. Así que en vez de probar con estos dos números hace falta probar sólo con el más chico. Pero si uno es mayor que sqrt(n) entonces el otro es menor que n/sqrt(n) =sqrt(n). Por ello el más chico seguro que es menor que n y entonces sólo hace falta probar hasta sqrt(n)
Vamos a probar si 7247 es primo
Sqrt(7247)=85.129 debemos probar hasta con el número primo menor o igual que 85.129 que
en este caso es el 83

Como lectura esta muy bien el Teorema de los números primos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/16-2-o-primos.html

León-Sotelo

Ruffini con ax+b

4x^3-8x^2+2x-1):(2x+1)=(2x^3-4x^2+x-1/2):(x+1/2)=(2x^2-5x+7/2)-(9/4)/(x+1/2) = (2x^2-5x+7/2)-(9/2)/(2x+1)

....................2......-4........ 1.......-1/2
.........-1 /2............-1........ 5/2..... 7/4
----------------------------------------------------
....................2..... -5........ 7/2.....-9/4

Como vemos el cociente es el mismo y el resto que nos da Ruffini al hacer la tabla para x=-1/2 que es el mismo que al sustituir en el polinomio "preparado" x por -1/2 hemos de multiplicarlo por a (2 en el ejemplo)
http://math2.org/mmb/thread/40121

http://www.x.edu.uy/damaso/polinomios%202006.pdf

http://www.purplemath.com/modules/polydiv3.htm

http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/069-072-Division_polinomios.pdf

http://britton.disted.camosun.bc.ca/math073/test2_solution.pdf

Factoreo polinómico:

http://alumno.elsabio.com/tmp/27835.Factorizaci%C3%B3n.doc

La aplicación practica esta aqui:
http://www.math.csusb.edu/math110/src/tools/syn_div_int.html

Aqui lo tenemos bastante claro:
http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/documentos/mate/Ficha_11_Algebra_Polinomios.pdf

Polynomial Computation:
http://icm.mcs.kent.edu/research/demo.html

Adeel Khan polynomial:
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/PolynomialsAK.pdf

http://matematicapro.googlepages.com/5_10POLINOMIOS_2008.pdf

http://es.scribd.com/doc/34809820/METODO-DE-RUFFINI-Y-TEOREMA-DEL-RESTO

Enteros consecutivos

The number of ways in which n may be expressed as a sum of one or more consecutive positive integers is equal to the number of positive odd divisors of n.
50! = 2^47 × 3^22 × 5^12 × 7^8 × 11^4 × 13^3 × 17^2 × 19^2 × 23^2 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47
Divisores impares:23*13*9*5*4*3*3*3*2^6=93.000.960 formas de expresar 50! como suma de enteros consecutivos.


http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Secondary_Units/consecnumbers.aspx
http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Algebra/JacksonsCon.aspx
http://mathforum.org/library/drmath/view/55979.html
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/MercheSanchez/Problema%20numeros.pdf

http://centromatematico.uregina.ca/mp/previous2002/feb03sol.html
http://www.qbyte.org/puzzles/p092s.html

http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=507&part=solution

Pentagrama y Phi

In this next figure (pinchar enlaces de abajo) is a regular pentagon with an inscribed pentagram.All the line segments found there are equal in length to one of the five line segments described below:The length of the black line segment is 1 unit.The length of the red line seqment, a, is Ø. The length of the yellow line seqment, b, is 1/Ø. The length of the green line seqment, c, is 1, like the black segment. The length of the blue line seqment, d, is (1/Ø)2, or equivalently, 1 - (1/Ø), as can be seen from examining the figure. (Note that b + d = 1).

http://kjmaclean.com/Geometry/PentOverview.html

Ver:http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/pentagramratios.gif

Aqui tenemos las potencias de Phi:
http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/fipot.gif

Y aqui historias de Phi,Fibonacci,... para no perderselo

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/propsOfPhi.html#powers

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The cubic

sin[3x] = 3 sin[x] -4(sin[x])^3 (a)
cos[3x] = -3 cos[x] + 4(cos[x])^3 (b)
sinh[3x] = 3 sinh[x]+ 4 (sinh[x])^3 (c)
cosh[3x] =4 (cosh[x])^3 — 3 cosh[x] (d)

Ejemplo 1:
En x^3-6x=1 hacemos x=a*cos(x)
4a^3*(cos(x))^3-6acos(x)=1 y la comparamos con (b)
4a^3/6a=4/3 => a=2sqrt(2)
4(cos(x))^3-3cos(x)=sqrt(2)/2=> cos(3x)=sqrt(2)/2
x=15º,135º,255º... x=2sqrt(2)/2*cos135º=-2
Ya tenemos la descomposición:
(x+2)(x^2-2x-2)
Si la ecuación propuesta hubiese sido x^3+6x=4
la comparariamos con(c) y x=0.625816818...

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Suma y Producto de Divisores

Partimos de la descomposición prima de N=p^a*q^b*r^c

El número de divisores positivos de N es D=(a+1)(b+1)(c+1)
La suma de todos sus divisores seria:

S=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)(1+r+r^2+...+r^c)=
(p^(a+1)-1/p-1)*(q^(b+1)-1/q-1)*(r^(c+1)-1/r-1)

Y el producto de todos sus divisores P=N^(D/2)=Sqrt(N^D)

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Razones y proporciones

a/b=c/d => a:b=c:d b y c medios a y d extremos
a/b=c/d sumando 1 a cada lado a+b/b=c+d/d
a/b=c/d restando 1 a cada lado a-b/b =c-d/d

a/b=c/d=e/f =a+c+e/b+d+f
a/b=c/d=e/f =a+c-e/b+ d-f
a/b=c/d=e/f =a-c+e/b- d+f

En general vale cualquier combinacion lineal:

a/b=c/d=e/f => pa/pb=qc/qd=re/rf
a/b=c/d=e/f = pa- qc+re/ pb- qd-rf

Aquí los portugueses nos dicen algo al respecto:

http://www.somatematica.com.br/fundam/propor.php
(leonsotelo magdalena)

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Páginas y dígitos

To number a book from 1 up to its last page took 552 digits.
How many pages are there in the book?
If P(n) is the number of digits used to number n pages, the formula for P(n) is:

P(n) = n , if n is between 1 and 9
P(n) = 2n-9 , if n is between 10 and 99
P(n) = 3n-108 , if n is between 100 and 999
P(n) = 4n-1107 , if n is between 1000 and 9999
P(n) = kn-[ (10k -1)/9 - k ] , if n is a k-digit number.
For the question at hand, we simply have to solve the equation 552=(3n-108) and that means that there are n=220 pages in the book.

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Polinomios simetricos. (a+b+c)^3

http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero24/gomes.pdf

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(a+b+c)*(ab+bc+ac)-3abc

x^3 + y^3+ z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) + 3xyz

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)*(ab+bc+ac)-abc

(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf

(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1

Este problema no podia faltar:
http://www.qbyte.org/puzzles/p079s.html

http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html

http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfNewtonGirardFormulaForSymmetricPolynomials.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_identities#Computing_power_sums

http://www.numericana.com/answer/algebra.htm#sym

http://www.mathpages.com/home/kmath097.htm

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Newton_sums

En la página 8 esta la recurrencia general:

http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/PolynomialsAK.pdf

http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html

http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ (Revista nº 25)

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