¡¡Greg Gamble!!
Con sus lecturas comencé mis paseos olímpicos por la red.Vaya aquí su nombre para que por lo menos no lo olvide.
http://www.maths.uwa.edu.au/~gregg/
http://www.madras.fife.sch.uk/maths/enrichment/index.html
León-Sotelo
jueves, 11 de octubre de 2007
Regla de L´Hopital
Si existe el límite para x=>a de f´(x)/g´(x)=l entonces el límite para x=>a de
f(x)/ g(x) es también l.Tanto a como l pueden tomar cualquier valor real e incluso +oo y -oo.
Aquí tenemos un claro ejemplo donde al no existir el limite en el cociente de las segundas derivadas nada podemos decir del cociente de las primeras derivadas y lógicamente tampoco del limite de la función que claramente es uno pero que L´Hopital en este caso no nos dice nada,no es aplicable:
http://www.dougshaw.com/findtheerror/FTELHopital.html
y aqui pongo una buena dirección con problemas de límites de sucesiones para ir abriendo boca:
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas/sucesiones.pdf
El video Nº 46 habla del tema:
http://online.math.uh.edu/HoustonACT/videocalculus/
León-Sotelo
f(x)/ g(x) es también l.Tanto a como l pueden tomar cualquier valor real e incluso +oo y -oo.
Aquí tenemos un claro ejemplo donde al no existir el limite en el cociente de las segundas derivadas nada podemos decir del cociente de las primeras derivadas y lógicamente tampoco del limite de la función que claramente es uno pero que L´Hopital en este caso no nos dice nada,no es aplicable:
http://www.dougshaw.com/findtheerror/FTELHopital.html
y aqui pongo una buena dirección con problemas de límites de sucesiones para ir abriendo boca:
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas/sucesiones.pdf
El video Nº 46 habla del tema:
http://online.math.uh.edu/HoustonACT/videocalculus/
León-Sotelo
miércoles, 10 de octubre de 2007
Ruffini con ax+b
4x^3-8x^2+2x-1):(2x+1)=(2x^3-4x^2+x-1/2):(x+1/2)=(2x^2-5x+7/2)-(9/4)/(x+1/2) = (2x^2-5x+7/2)-(9/2)/(2x+1)
....................2......-4........ 1.......-1/2
.........-1 /2............-1........ 5/2..... 7/4
----------------------------------------------------
....................2..... -5........ 7/2.....-9/4
Como vemos el cociente es el mismo y el resto que nos da Ruffini al hacer la tabla para x=-1/2 que es el mismo que al sustituir en el polinomio "preparado" x por -1/2 hemos de multiplicarlo por a (2 en el ejemplo)
http://math2.org/mmb/thread/40121
http://www.x.edu.uy/damaso/polinomios%202006.pdf
http://www.purplemath.com/modules/polydiv3.htm
http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/069-072-Division_polinomios.pdf
http://britton.disted.camosun.bc.ca/math073/test2_solution.pdf
Factoreo polinómico:
http://alumno.elsabio.com/tmp/27835.Factorizaci%C3%B3n.doc
La aplicación practica esta aqui:
http://www.math.csusb.edu/math110/src/tools/syn_div_int.html
Aqui lo tenemos bastante claro:
http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/documentos/mate/Ficha_11_Algebra_Polinomios.pdf
Polynomial Computation:
http://icm.mcs.kent.edu/research/demo.html
Adeel Khan polynomial:
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/PolynomialsAK.pdf
http://matematicapro.googlepages.com/5_10POLINOMIOS_2008.pdf
http://es.scribd.com/doc/34809820/METODO-DE-RUFFINI-Y-TEOREMA-DEL-RESTO
....................2......-4........ 1.......-1/2
.........-1 /2............-1........ 5/2..... 7/4
----------------------------------------------------
....................2..... -5........ 7/2.....-9/4
Como vemos el cociente es el mismo y el resto que nos da Ruffini al hacer la tabla para x=-1/2 que es el mismo que al sustituir en el polinomio "preparado" x por -1/2 hemos de multiplicarlo por a (2 en el ejemplo)
http://math2.org/mmb/thread/40121
http://www.x.edu.uy/damaso/polinomios%202006.pdf
http://www.purplemath.com/modules/polydiv3.htm
http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/069-072-Division_polinomios.pdf
http://britton.disted.camosun.bc.ca/math073/test2_solution.pdf
Factoreo polinómico:
http://alumno.elsabio.com/tmp/27835.Factorizaci%C3%B3n.doc
La aplicación practica esta aqui:
http://www.math.csusb.edu/math110/src/tools/syn_div_int.html
Aqui lo tenemos bastante claro:
http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/documentos/mate/Ficha_11_Algebra_Polinomios.pdf
Polynomial Computation:
http://icm.mcs.kent.edu/research/demo.html
Adeel Khan polynomial:
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/PolynomialsAK.pdf
http://matematicapro.googlepages.com/5_10POLINOMIOS_2008.pdf
http://es.scribd.com/doc/34809820/METODO-DE-RUFFINI-Y-TEOREMA-DEL-RESTO
sábado, 6 de octubre de 2007
Calculo numerico e iterativo
Aqui tenemos los apuntes de Sevilla:
http://ma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itis.htm
http://ma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itis.htm
martes, 25 de septiembre de 2007
Programación lineal
Solo sabemos hacer Max f(x) sujeto a R, luego si nos sale min f(x) sujeto a R
lo ponemos como Max -f(x) sujeto a las mismas restricciones.Las soluciones
de las variables son las mismas ( por ejemplo x_1=5, x_2=3) para ambos casos y lo único que varía es el valor de la función objetivo que si en el caso de minimizar valía z al sustituir ahora los mismos valores en -f(x) lógicamente nos da -z.Simplemente cambia de signo.
¿Como tratamos las restricciones?
<=)Añadimos una variable de holgura h_1 simplemente x+2y<=5 pasa a ser x+2y+h=5 y aparece un 1 directamente en la matriz unitaria
>=)x+2y>=5 restamos una variable de holgura x+2y-h+a_1=5 y añadimos una artificial a con idea de que aparezca el 1 de la matriz unitaria del problema general
Max f(x) -M(a_1+a_2)
=)x+y=5 para que aparezca el 1 en la matriz unitaria añadimos una nueva variable artificial x+y+a_2=5
Tanto para el método de la gran M como para el de las dos fases vemos que el número de variables artificiales es igual a la suma de los signos >=, y signos = que haya en las restricciones y nos va a definir el número de M's a emplear o de W's en el caso de las dos fases.Los signos <= son los únicos que no generan variables artificiales.
Ponemos un ejemplo:
min x-y sujeto a x+2y>=6,2x+y<=6,4x+y=4 que pasaria a Max -x+y sujeto a las mismas restricciones que bien puestas en forma estandar son: x+2y-h_1+ a_1=6,2x+y+h_2=6,4x+y+a_2=4 y la tabla inicial seria: 1 2 -1 0 0 1 6 2 1 0 1 0 0 6 Max -x+y-M(a_1+a_2) [1] 4 1 0 0 1 0 4 ----------------------------------- 1 -1 0 0 M M 0 Entran con signo cambiado al de [1] ----------------------------------- 1-M,-1-2M,M,0, M, 0 -6M -------------------------------------- 1-5M,-1-3M,M,0, 0 0 -10M Ya tengo las variables basicas a costo 0, y a partir de aqui seguimos el algoritmo del simplex:Entra la que tenga el menor valor de la fila de abajo,la mas negativa es decir 1-5M(entra x) y para ver quien sale min(6/1,6/2,4/4) es decir sale a_2 ... La columna de la variable artificial correspondiente a la igualdad-es las pondremos antes que las que corresponden a >= con idea de que al hacer la fase l solo eliminamos las columnas de las variables artificiales que corresponden a >=.
¿Por qué no podemos eliminar las columnas de las variables artificiales que proceden de igualdades? Porque a lo largo de la fase II pueden llegar a entrar de nuevo como variables básicas es decir que a_i tenga un valor no nulo y si esto ocurre no tiene solución el problema porque la igualdad que corresponde a esa a_1 no es tal igualdad al no ser nula la a_i.
Decíamos que entra en la base la que tiene mayor valor negativo(la mas negativa) y de esa columna pivote hacemos el mínimo de los{b_i/a_i} no pudiendo tomarse los valores de a_i que sean nulos 0 negativos.Si todos los a_i de la columna pivote fueran negativos o nulos estaríamos ante un
problema no acotado.
Si cuando llegamos al óptimo (todos los valores de la fila de abajo son positivos o nulos) ocurre que alguno de esos costes de alguna o varias variables no básicas sean nulos y si hacemos una nueva iteración(entra esta variable de costo nulo y sale como siempre la de su columna con menor b_i/a_i) la función objetivo no varía (puesto que ha entrado una variable de costo nulo) pero estoy en otro punto óptimo.Tendremos en este caso infinitas soluciones,todas las que están en la "recta" que unen esos dos puntos óptimos.
León-Sotelo
lo ponemos como Max -f(x) sujeto a las mismas restricciones.Las soluciones
de las variables son las mismas ( por ejemplo x_1=5, x_2=3) para ambos casos y lo único que varía es el valor de la función objetivo que si en el caso de minimizar valía z al sustituir ahora los mismos valores en -f(x) lógicamente nos da -z.Simplemente cambia de signo.
¿Como tratamos las restricciones?
<=)Añadimos una variable de holgura h_1 simplemente x+2y<=5 pasa a ser x+2y+h=5 y aparece un 1 directamente en la matriz unitaria
>=)x+2y>=5 restamos una variable de holgura x+2y-h+a_1=5 y añadimos una artificial a con idea de que aparezca el 1 de la matriz unitaria del problema general
Max f(x) -M(a_1+a_2)
=)x+y=5 para que aparezca el 1 en la matriz unitaria añadimos una nueva variable artificial x+y+a_2=5
Tanto para el método de la gran M como para el de las dos fases vemos que el número de variables artificiales es igual a la suma de los signos >=, y signos = que haya en las restricciones y nos va a definir el número de M's a emplear o de W's en el caso de las dos fases.Los signos <= son los únicos que no generan variables artificiales.
Ponemos un ejemplo:
min x-y sujeto a x+2y>=6,2x+y<=6,4x+y=4 que pasaria a Max -x+y sujeto a las mismas restricciones que bien puestas en forma estandar son: x+2y-h_1+ a_1=6,2x+y+h_2=6,4x+y+a_2=4 y la tabla inicial seria: 1 2 -1 0 0 1 6 2 1 0 1 0 0 6 Max -x+y-M(a_1+a_2) [1] 4 1 0 0 1 0 4 ----------------------------------- 1 -1 0 0 M M 0 Entran con signo cambiado al de [1] ----------------------------------- 1-M,-1-2M,M,0, M, 0 -6M -------------------------------------- 1-5M,-1-3M,M,0, 0 0 -10M Ya tengo las variables basicas a costo 0, y a partir de aqui seguimos el algoritmo del simplex:Entra la que tenga el menor valor de la fila de abajo,la mas negativa es decir 1-5M(entra x) y para ver quien sale min(6/1,6/2,4/4) es decir sale a_2 ... La columna de la variable artificial correspondiente a la igualdad-es las pondremos antes que las que corresponden a >= con idea de que al hacer la fase l solo eliminamos las columnas de las variables artificiales que corresponden a >=.
¿Por qué no podemos eliminar las columnas de las variables artificiales que proceden de igualdades? Porque a lo largo de la fase II pueden llegar a entrar de nuevo como variables básicas es decir que a_i tenga un valor no nulo y si esto ocurre no tiene solución el problema porque la igualdad que corresponde a esa a_1 no es tal igualdad al no ser nula la a_i.
Decíamos que entra en la base la que tiene mayor valor negativo(la mas negativa) y de esa columna pivote hacemos el mínimo de los{b_i/a_i} no pudiendo tomarse los valores de a_i que sean nulos 0 negativos.Si todos los a_i de la columna pivote fueran negativos o nulos estaríamos ante un
problema no acotado.
Si cuando llegamos al óptimo (todos los valores de la fila de abajo son positivos o nulos) ocurre que alguno de esos costes de alguna o varias variables no básicas sean nulos y si hacemos una nueva iteración(entra esta variable de costo nulo y sale como siempre la de su columna con menor b_i/a_i) la función objetivo no varía (puesto que ha entrado una variable de costo nulo) pero estoy en otro punto óptimo.Tendremos en este caso infinitas soluciones,todas las que están en la "recta" que unen esos dos puntos óptimos.
León-Sotelo
domingo, 23 de septiembre de 2007
Taylor Teoremas Max y Min...
Corresponde a la Leccion 1ª,2ª,3ª de Cálculo Ingenieria(En pen):
Lección 1.
Preliminares: funciones, límites y continuidad
Los números reales y la recta real. Funciones y sus gráficas. Límites de funciones. Cálculo de límites. Continuidad y límites laterales. Límites infinitos.
Lección 2.
La derivada
La derivada y el problema de la tangente. Reglas básicas de derivación. Derivadas de orden superior. La regla de la cadena. Derivación implícita. Tasas de variación relacionadas.
Lección 3.
Aplicaciones de la derivada
Extremos en un intervalo. Teorema de Rolle y teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes: el criterio de la derivada primera. Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda. Límites en el infinito. Análisis de gráficas. Problemas de optimización. El método de Newton. Diferenciales. Formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
http://ma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itis.htm (Cálculo numérico)
http://www.ma2.us.es/pub/indexdocencia.html
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.htm http://www.math.scar.utoronto.ca/calculus/Lecture36-rev.pdf
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/bolzano.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_6_1.pdf
http://www.math.ohio-state.edu/~kimr/Math152Su07/lecture/Section%204_4.pdf
http://www.sosmath.com/calculus/indforms/intro/intro.html
http://webpages.ull.es/users/bbonilla/PDF/Anexo3CI.pdf
http://nivel.topografia.upm.es/~mates/primero/Apuntes/Formula_de_Taylor/infinitesimos.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cauchy
http://www.departamento.us.es/edan/asignaturas/BIOM/Apuntes%20Tema4.pdf
Aqui tenemos el calculo diferencial en videos:
http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/ind_dif02.htm#1
Y aqui el Resto de Lagrange:
http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_3_3_3.pdf
Lección 1.
Preliminares: funciones, límites y continuidad
Los números reales y la recta real. Funciones y sus gráficas. Límites de funciones. Cálculo de límites. Continuidad y límites laterales. Límites infinitos.
Lección 2.
La derivada
La derivada y el problema de la tangente. Reglas básicas de derivación. Derivadas de orden superior. La regla de la cadena. Derivación implícita. Tasas de variación relacionadas.
Lección 3.
Aplicaciones de la derivada
Extremos en un intervalo. Teorema de Rolle y teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes: el criterio de la derivada primera. Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda. Límites en el infinito. Análisis de gráficas. Problemas de optimización. El método de Newton. Diferenciales. Formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
http://ma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itis.htm (Cálculo numérico)
http://www.ma2.us.es/pub/indexdocencia.html
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.htm http://www.math.scar.utoronto.ca/calculus/Lecture36-rev.pdf
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/bolzano.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_6_1.pdf
http://www.math.ohio-state.edu/~kimr/Math152Su07/lecture/Section%204_4.pdf
http://www.sosmath.com/calculus/indforms/intro/intro.html
http://webpages.ull.es/users/bbonilla/PDF/Anexo3CI.pdf
http://nivel.topografia.upm.es/~mates/primero/Apuntes/Formula_de_Taylor/infinitesimos.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cauchy
http://www.departamento.us.es/edan/asignaturas/BIOM/Apuntes%20Tema4.pdf
Aqui tenemos el calculo diferencial en videos:
http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/ind_dif02.htm#1
Y aqui el Resto de Lagrange:
http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_3_3_3.pdf
Integral par impar
Integral de fnciones pares e impares:
http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series.htm
Integrales funciones trigonometricas pares e impares:
http://www.terra.es/personal2/mozafen/UNED/Mate_III_ADE/Apuntes/trigonometricas.pdf
León-Sotelo
http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series.htm
Integrales funciones trigonometricas pares e impares:
http://www.terra.es/personal2/mozafen/UNED/Mate_III_ADE/Apuntes/trigonometricas.pdf
León-Sotelo
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