Osborn´s Rule

This rule is called Osborn's rule, and you have to be a bit careful when using it. That's because sometimes the sin2 term is "hidden".




For example, remember the trig identity 1+tan2(q) = sec2(q).



Well, the corresponding hyperbolic identity is 1-tanh2(x) = sech2(x).



So the sign has changed, and that's because tan is really sin/cos, so the tan2 contains a hidden sin2 within it.



Here's a table of the most common identities, both the trig versions and the hyperbolic versions.



Trig identity Hyperbolic identity

cos2(x)+ sin2(x)=1 cosh2(x)- sinh2(x)=1

sin(2x)=2sin(x)cos(x) sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)

cos(2x)=cos2(x)-sin2(x) cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)

tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x)) tanh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x))

sin(A)+sin(B)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinh(A)+sinh(B)=2sinh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

sin(A)-sin(B)=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] sinh(A)-sinh(B)=2cosh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

cos(A)+cos(B)=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosh(A)+cosh(B)=2cosh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

cos(A)-cos(B)=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosh(A)-cosh(B)=2sinh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

1+tan2(x)=sec2(x) 1-tanh2(x)=sech2(x)

Notice that the sign has changed in the identities in rows 1, 3, 4, 8 and 9 in the above table, as each involves a product of sines.

Para concretar mas, he expandido sin(12x) y sinh(12x) donde aparecen senos elevados a las potencias
1,3,5,7,9,11.Pues bien, de acuerdo con lo que dice la regla de Osborn han cambiado de signo  tan solo laspotencias 3,7 y 11 asi que cuidado con la aplicacion de esta regla.La 5 y la 9  no cambian porque
cambian de signo un numero par de veces por lo que se quedan lo mismo.

Expansion del sin(13x)=


Expansion del Sinh(13x)=







Cada vez que apece un seno al cuadrado la función cambia a hiperbólica y cambia de signo.Aqui cambian de signo las potencias del seno 11,7,3.Es decir potencias de la forma 4n-1.¿Por qué no cambia la potencia 13?.Porque 13=2+2+2+2+2+2+1 y cambia de signo un número par(seis) de veces con lo que no cambia nada.Igual le ocurre a la potencia novena 9=2+2+2+2+1 donde cambia de signo 4 veces con lo que no cambia nada.Lo mismo para la 5ª potencia del seno en la que tenemos 5=2+2+1 que cambia de signo dos veces con lo cual (-)*(-)=(+) y de nuevo no cambia nada.En resumen cambian las potencias n tales que n=3 modulo 4.

León-Sotelo.