Longitudes Tangentes dos Circunferencias.

Problemas métricos en el plano rectas tangentes a circunferencias   

























UNDAD 9




       





 

Truco Asíntotas

 Si una función tiene asíntotas horizontales, no tiene oblicuas.

Un buen truco para reconocer si existe asíntota oblicua en una función es observar si se trata de un cociente de polinomos. En ese caso, sólo existe asíntota oblicua si el numerador posee un grado más que el denominador.


Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras


Esto es fácilmente esperable, puesto que una asíntota horizontal y=n es realmente un caso particular de asíntota oblicua y=mx+n, con m=0. Por tanto, la presunta asíntota oblicua que buscamos, es la horizontal ya existente.


Este hecho y el del apartado anterior se justificarán más rigurosamente en el próximo curso de Bachillerato, pero los resultados son perfectamente válidos, y la demostración formal consistirá en "vestir" de una forma más rigurosa estos mismos razonamientos, mediante un concepto muy importante en las matemáticas: el concepto de "límite".

Factorización LU

http://youtu.be/kH1t2ewNURw

Cuando aparece el 0 en la matriz:

http://youtu.be/Hguh6hGbDH0

http://youtu.be/feynuttrw7s

De otro autor:

http://youtu.be/Syu24LQYtWg

http://cicia.uprrp.edu/publicaciones/docentes/Factorizacion%20LU.pdf

Linearización

cosx^5 = (1/2(z+1/z))^5 = (1/32)[z^5 + 5z^3 + 10z + 10z^-1 + 5z^-3 + z^-5] = (1/32)[cos5x+isin5x + 5cos3x+5isin3x + 10cosx+10isinx + 10cosx-10isinx + 5cos3x-5isin3x + cos5x-5isinx]

Saludos.
León-Sotelo.

http://www.math10.com/en/algebra/hyperbolic-functions/hyperbolic-functions.html

Desintegración radioactiva

La ley de la desintegración radiactiva predice el decrecimiento con el tiempo del número de núcleos de una sustancia radiactiva dada que van quedando sin desintegrar.

 N = N0 · 2^(-t/T)

N=Nucleos instante t N_0= Nucleos iniciales. t=tiempo T= Periodo semidesintegración.      León-Sotelo

Osborn´s Rule

This rule is called Osborn's rule, and you have to be a bit careful when using it. That's because sometimes the sin2 term is "hidden".




For example, remember the trig identity 1+tan2(q) = sec2(q).



Well, the corresponding hyperbolic identity is 1-tanh2(x) = sech2(x).



So the sign has changed, and that's because tan is really sin/cos, so the tan2 contains a hidden sin2 within it.



Here's a table of the most common identities, both the trig versions and the hyperbolic versions.



Trig identity Hyperbolic identity

cos2(x)+ sin2(x)=1 cosh2(x)- sinh2(x)=1

sin(2x)=2sin(x)cos(x) sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)

cos(2x)=cos2(x)-sin2(x) cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)

tan(2x)=2tan(x)/(1-tan2(x)) tanh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x))

sin(A)+sin(B)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinh(A)+sinh(B)=2sinh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

sin(A)-sin(B)=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] sinh(A)-sinh(B)=2cosh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

cos(A)+cos(B)=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosh(A)+cosh(B)=2cosh[(A+B)/2]cosh[(A-B)/2]

cos(A)-cos(B)=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosh(A)-cosh(B)=2sinh[(A+B)/2]sinh[(A-B)/2]

1+tan2(x)=sec2(x) 1-tanh2(x)=sech2(x)

Notice that the sign has changed in the identities in rows 1, 3, 4, 8 and 9 in the above table, as each involves a product of sines.

Para concretar mas, he expandido sin(12x) y sinh(12x) donde aparecen senos elevados a las potencias
1,3,5,7,9,11.Pues bien, de acuerdo con lo que dice la regla de Osborn han cambiado de signo  tan solo laspotencias 3,7 y 11 asi que cuidado con la aplicacion de esta regla.La 5 y la 9  no cambian porque
cambian de signo un numero par de veces por lo que se quedan lo mismo.

Expansion del sin(13x)=


Expansion del Sinh(13x)=







Cada vez que apece un seno al cuadrado la función cambia a hiperbólica y cambia de signo.Aqui cambian de signo las potencias del seno 11,7,3.Es decir potencias de la forma 4n-1.¿Por qué no cambia la potencia 13?.Porque 13=2+2+2+2+2+2+1 y cambia de signo un número par(seis) de veces con lo que no cambia nada.Igual le ocurre a la potencia novena 9=2+2+2+2+1 donde cambia de signo 4 veces con lo que no cambia nada.Lo mismo para la 5ª potencia del seno en la que tenemos 5=2+2+1 que cambia de signo dos veces con lo cual (-)*(-)=(+) y de nuevo no cambia nada.En resumen cambian las potencias n tales que n=3 modulo 4.

León-Sotelo.

http://mathweb.scranton.edu/monks/courses/ProblemSolving/HighSchoolPlaybook.pdf

http://mathweb.scranton.edu/monks/courses/ProblemSolving/HighSchoolPlaybook.pdf

http://mathweb.scranton.edu/monks/courses/ProblemSolving/MathCountsPlaybook.pdf

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León-Sotelo.