Suma y Producto de Divisores

Partimos de la descomposición prima de N=p^a*q^b*r^c

El número de divisores positivos de N es D=(a+1)(b+1)(c+1)
La suma de todos sus divisores seria:

S=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)(1+r+r^2+...+r^c)=
(p^(a+1)-1/p-1)*(q^(b+1)-1/q-1)*(r^(c+1)-1/r-1)

Y el producto de todos sus divisores P=N^(D/2)=Sqrt(N^D)

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Raices.E.D.O. homogeneas

Si las raices del polinomio P(D)=0 son:
r_1=1 (Raiz simple)
r_2=2 (Raiz doble)
r_3=3+4i (Raiz triple)
La solución de la homogenea es:

y_h=A*e^x+(Bx+C)e^2x+e^3x[(Dx^2+Ex+F)cos(4x)+(Gx^2+Hx+I)sen(4x)]

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Razones y proporciones

a/b=c/d => a:b=c:d b y c medios a y d extremos
a/b=c/d sumando 1 a cada lado a+b/b=c+d/d
a/b=c/d restando 1 a cada lado a-b/b =c-d/d

a/b=c/d=e/f =a+c+e/b+d+f
a/b=c/d=e/f =a+c-e/b+ d-f
a/b=c/d=e/f =a-c+e/b- d+f

En general vale cualquier combinacion lineal:

a/b=c/d=e/f => pa/pb=qc/qd=re/rf
a/b=c/d=e/f = pa- qc+re/ pb- qd-rf

Aquí los portugueses nos dicen algo al respecto:

http://www.somatematica.com.br/fundam/propor.php
(leonsotelo magdalena)

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Desarreglos k puntos fijos

La formula para desarreglos con ningun punto fijo:

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + n!/4! - ... + (-1)^n*n!/n!

La fórmula de los desarreglos con k puntos fijos:

D(n,k)=(n!/k!)*Sum((-1)^k/k!,k,0,n-k)) que coincide para n grande y k fijo con (n!/k!)*e^(-1)

Así se ve o se recuerda mejor:
D(n,k)=C(n,k)*D(n-k)

Generalización Binomial Theorem:

(-1)^k*C(n+k-1,k))=C(-n,k)

Ejemplo:1/(1+x)^7=(1+x)^(-7)=C(0+7-1,0)-C(1+7-1,1)X+C(2+7-1,2)-...
=C(6,0)-C(7,1)x+C(8,2)x^2-C(9,3)x^3+...=1-7x+28x^2-84x^3+...

También (-1)^(n+k) C(k-1,n-1)=C(-n,-k)

(sacado de Introduction to Combinatorial Mathematics de Liu)
Para andar por casa:

C(-7,3)=(-7)(-8)(-9)(10).../(-10)(-11)(-12)...*3!=-(7*8*9)/3! = -C(7+3-1,3!)
C(-3,-7)=(-3)!/(4!)*(-7)!=(-3)(-4)(-5)(-6)/4!=C(6,2)=15



Permutaciones circulares muy claritas.Profesor theta:
http://www.ilovemaths.com/classroom.asp
http://www.ilovemaths.com/3permcirc.asp

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Regla signos de Descartes

La regla de Descartes se aplica a polinomios de coeficientes reales puesto que si fueran complejos no podríamos saber cuando cambian de signo.

La disminución en un número par de veces se debe a la aparición de las conjugadas de las raíces complejas cuando los coeficientes son reales.

http://gaussianos.com/la-regla-de-los-signos-de-descartes/
http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm
http://www.mitecnologico.com/ic/Main/ReglaDeLosSignosDeDescartes
http://www.youtube.com/watch?v=sj_vgQsKPAc

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Integral.Error

S(n)= f(1)+f(2)+...+f(n) es una sobrestimación de
Int(f(x),x,1,n+1)
S(n)-f(1)=a(2)+a(3)+...+f(n) es una subestimación de
Int(f(x),x,1,n)
Int(f(x),x,1,n+1)<=S(n)<=f(1)+Int(f(x),x,1,n) Int(f(x),x,n+1,oo)<=Error=S-S(n)<=Int(f(x),x,n,oo) La ampliación de todo esto en: http://www.math.tamu.edu/~mbelk/RemaindersIntegral.pdf
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/series.7/index.html

Un buen enlace para Simpson,formula del trapecio,punto medio etc
http://gata.uv.es/~mulet/cursos/cn/intnum.pdf

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Palíndromos o Capicuas

a(n)= número de capicuas menores que 10^n

a(n)=2(10^(n/2) -1) si n es par
a(n)=11(10^(n-1)/2) -2 si n es impar


Number of nonzero palindromes less than 10^n.
9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998, 1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998, 10999999998, 19999999998, 109999999998, 199999999998, 1099999999998

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