Suma de potencias

S(n,1)=n(n+1)/2
S(n,2)=n(n+1)(2n+1)/6
S(n,3)=n^2(n+1)^2/4
S(n,4)=n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)/30
S(n,5)=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12

Polinomios simetricos. (a+b+c)^3

http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero24/gomes.pdf

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(a+b+c)*(ab+bc+ac)-3abc

x^3 + y^3+ z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) + 3xyz

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)*(ab+bc+ac)-abc

(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf

(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1

Este problema no podia faltar:
http://www.qbyte.org/puzzles/p079s.html

http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html

http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfNewtonGirardFormulaForSymmetricPolynomials.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_identities#Computing_power_sums

http://www.numericana.com/answer/algebra.htm#sym

http://www.mathpages.com/home/kmath097.htm

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Newton_sums

En la página 8 esta la recurrencia general:

http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/PolynomialsAK.pdf

http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html

http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ (Revista nº 25)

León-Sotelo

Los puentes de Konigsberg

1)Si todos los arcos son de grado par, la figura propuesta es posible y además tenemos la receta para trazar el camino pedido. ¡Además esta receta nos dice que el vértice de salida, que puede ser cualquiera, es necesariamente el mismo que el final!

2)Si una figura tiene más de dos vértices impares, es imposible.

3)Si una figura tiene dos vértices impares, está claro que si intentamos trazarla según las reglas, tendremos que salir de uno de los vértices impares e intentar terminar en el otro vértice impar

4)No puede haber un solo vértice impar.No existe un grafo simple con un sólo nodo de grado impar

Cuadraditos y recta

En una cuadrícula de MxN cuadraditos si trazamos la diagonal que va desde el origen O(0,0) hasta el punto P(M,N) esta recta atraviesa
un total de M+N-m.c.d.(M,N) puntos interiores.

Suma longitudes,Pentagram

Este uno de los problemas que mas me han gustado y es digno de figurar
aquí.
http://www.math.purdue.edu/pow/spring2001/pdf/solution12.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram

Areas.Heron y Briggs

Tenemos este enlace doble:

http://www.arrakis.es/~mcj/areas.htm
http://www.educajob.com/xmoned/temarios_elaborados/matematicas/tema38.pdf

Y este otro para demostración animada y elegante
del área del triángulo igual que hicimos con la del trapecio.

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/contenido.htm

Fórmulas trigonometricas

Aquí ha y un "puñao" de ellas:
http://ingenieria.uaslp.mx/Recursos/Formularios/Trigonometr%C3%ADa.doc
http://www.titulosnauticos.net/trigonometria/Trigonometria.pdf
http://www.mathnstuff.com/gsp/alltext.htm
http://euclid.colorado.edu/~ernstd/Unit_Circle.pdf
Para la resolución de ecuaciones trigonométricas:

sen(a)=sen(b)
a+b=pi +2kpi(senos angulos suplementarios son iguales+las vueltas)
a=b+2kpi (senos angulos que difieren en vueltas completas iguales)
o bien decir que los senos son iguales en a y en (180-a) por lo que las soluciones son b=a+2kpi, b=(180-a)+2kpi

sen(a)=cos(b)=> sen(a)=sin(pi/2 -b)
a+pi/2-b=pi +2kpi
a=pi/2-b +2kpi
Otro modo:
Si sen(a)=cos(b) nos indica que a+b=90º es decir para b=90-a con lo que una solución es b=90-a de donde una solución es b=(90-a)+2kpi ¿Cuando ocurre esto otra vez? vemos que ocurre en (a-90) con una pequeña figurita por lo que otra solucion el 3er cuadrante es b=(a-90)+2kpi
a+b=-90+2kpi
a-b = 90+2kpi
En el caso de:
tg(a)=tg(b) solo existe a=b+kpi

Observese que si k es entero no es necesario el signo +/-
que solo se pondrie si k fuera natural.

Para comprobar tenemos este problema:

http://hcor_2.vtrbandaancha.net/Ec.%20Trigonometricas.pdf
http://faculty.missouristate.edu/l/lesreid/AdvSol21.html
http://lyceeenligne.free.fr/spip/IMG/pdf/trigo-2.pdf
http://home.scarlet.be/~ping1339/gonio.htm#cos(u)-=-cos(v)

León-Sotelo

Teorema de Thales

No os perdáis la demostración del teorema de Thales

http://217.128.112.58/mathkang/swf/thales2.html

Angulos de un triángulo

¿Y que pasa con los ángulos de un triángulo?Aquí hay demostración animada
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/contenido.htm

Area del trapecio AM-GM

No me interesa de aquí el area en sí sino la demostración tan elegante

http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/Areatrapecio.jpg

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Isos.Trpzd/Diag/diag.html

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Lanier/ISOSTRAP/isotrap.html

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=145287

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Root-square-mean_arithmetic-mean_geometric-mean_harmonic-mean_inequality

Sody.Kissing Circles

From a smooth 30-inch-diameter circular plywood disk, two smaller circular disks
of diameters 20" and 10" are cut. What is the largest circular disk that can be cut
from one (either) piece of the remaining plywood?
Descartes' Kissing Circles Formula says for curvatures a, b, c, d (= reciprocals of the radii), there is a "close relatonship"
. . (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = (1/2)(a + b + c + d)^2. .The curvature is negative if you're inside the circle.
Descartes' formula comes from 1638; Fredrick Soddy's poem about it came 293 years later
With this relation in mind, it's a simple enough matter to plug in the known and find the unknown:
Known radii : 5 , 10 , and -15 (neg sign for concave big circle), Unknown radius : r.
Curvatures : 1/5 , 1/10 , -1/15 , a = 1/r. Formula of Descartes:
[(1/5)^2 + (1/10)^2 + (-1/15)^2 + a^2] = (1/2)[(1/5 + 1/10 - 1/15 + a)^2]
(1/25 + 1/100 + 1/225 + a^2) = (1/2)(1/5 + 1/10 - 1/15 + a)^2 . . mult both sides by 900 = 30^2:
36 + 9 + 4 + 900 a^2 = (1/2)(6 + 3 - 2 + 30a)^2 ==> 2(49 + 900 a^2) = (7 + 30a)^2 ==>
98 + 1800 a^2 = 49 + 420 a + 900 a^2 ==> 900 a^2 - 420 a + 49 = 0 ==> (30 a - 7)^2 = 0
So a = 7/30 giving r = 30/7 ; the diameter of the circular disk is d = 60/7 = 8 4/7 inches.
The double root means the two circles are the same size, normally there's a 'big' and 'small' solution

León-Sotelo