Además de las consabidas fórmulas del cálculo de límites:división por el término de mayor grado,multiplicar por el conjugado,límites del número e, L'Hopital... hemos de añadir los de la formula de Stirling,de la media aritmética y la geométrica, desarrollo en serie, infinitésimos equivalentes, y el criterio de Stolz.El criterio de cociente a_(n+1)/a_n es para series pero como cuando el valor de este límite es menor que 1 la serie converge y como para que converja es necesariamente lim{a_n}=0 pues eso, que si el cociente es menor que 1(hablamos de series de términos positivos) el límite de a_n es 0.Además si existe el límite a_(n+1)/a_n =p entonces también lim (a_n)^(1/n)=p
http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/varios/sucesiones.pdf
http://ma1.eii.us.es/miembros/mcruz/ICI/SUCES-04.pdf (***)
http://www.satd.uma.es/a_valverde/Calculo/apuntes/TemaC2.pdf
http://ma1.eii.us.es/Material/CI_iti_Bol1_S.pdf
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas/sucesiones.pdf
http://www.maths-express.com/bac-exo/bac-s/cour-s/suite-es/suite.htm
http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/suites.pdf http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/suites.pdf http://maths54.free.fr/maths1/suitnume/math129.html
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas.html
http://matematicas.uclm.es/ind-cr/calculo/files/cap1.pdf
http://www.ugr.es/~fjperez/parcial1_02_sol.pdf
http://www.ugr.es/~fjperez/Ejer_suc_ser_func.pdf
Aquí queda claro el criterio de Stolz:
Se aplica en estos dos casos en a_n/b_n:
a) {b_n} estrictamente creciente/decreciente y lim{b_n}=+/- infinito
b) {b_n} estrictamente creciente/decreciente y lim{a_n}=lim{b_n}=0
y aquí lo vemos mas formalmente:
http://ocw.uc3m.es/matematicas/calculo-i/material-de-clase-1/Tema2.pdf
http://www.uv.es/~anamat/practicas/practanalisi.pdf
http://filemon.upct.es/~juan/docencia/fund/suc.pdf
El criterio de Stolz para la raiz seria Lim = A_n^(1/B_n) donde tomando logaritmos
ln(Lim)=ln(A_n/B_n)=(1/(B_n-B_(n-1))(ln(A_n-ln(A_(n-1)) de donde
lim(A_n)^(1/B_n)=lim(A_n/A_(n-1))^(1/(B_n-B_(n-1)))
Los siete tipos de indeterminaciones que nos podemos encontrar son:
oo-oo, oo/oo, oo*0, 0/0, (oo)^0, 1^(oo), 0^0
Aquí tenemos una buena definición de punto de acumulación que nos puede servir:
http://www.scribd.com/doc/437311/Teoria-de-Conjuntos-y-Funciones
Esta página canaria tambien está bastante bien:
http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/calculo/ficheros/series1.pdf
Y no podia faltar:
http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/prg_analisis1.html
domingo, 25 de noviembre de 2007
miércoles, 21 de noviembre de 2007
Lattice Points
¿Cuantos puntos de coordenadas enteras están situados en una circunferencia de radio R centrada en el origen O(0,0)?
Esto nos lo da la función r(n) sum of squares function y practicamente los podemos obtener con: http://wims.unice.fr/wims/en_tool~number~twosquares.en.html
Así por ejemplo para un R^2=441 la única descomposición que encontramos es
0^2+21^2 que corresponde a 4 puntos.Para R^2=425 obtenemos 5^2+20^2,8^2+19^2 y 13^2+16^2 tres representaciones distintas que nos darían 8*3=24 puntos,para R^2=392 obtenemos 14^2+14^2 una única representación donde no hay cero pero como son iguales solo admite 4 puntos
(+-14,+-14).Los números como 437 no se pueden representar como suma de dos cuadrados al igual que el 437=19*23 los que tienen algún factor primo p que es igual a 3 mod 4 con potencia impar(en este caso los dos el 19 y el 23) no se pueden poner como suma de dos cuadrados.
Si lo queremos todo mas fácil entonces (Sloane's A046109) nos da los puntos situados justo en la circunferencia(en la linea) para R=0,1,2,3...
También podriamos hacer esto con la herramienta:
http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM
contando el número de soluciones de x^2+y^2=R^2
Para el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el interior de un círculo de radio R es N(r) y nos lo da la fórmula Gauss's circle problem y si los queremos directamente para R=0,1,2,3,... (Sloane's A000328).Si queremos seguir enredando N(r) está relacionada con sum of squares function mediante la fórmula N(r)=Sum(r(n),n,0,r^2) que es la suma de todas las posibles representaciones de los radios desde 0 a r^2 como suma de dos cuadrados que los tenemos aquí: A004018
Por ejemplo en una circunferencia de radio 5 cinco vemos que hay por medio de la secuencia A046109 12 puntos enteros en la propia circunferencia, por la A000328 vemos que hay en el interior del circulo de radio 5, 81 puntos enteros que son los mismos que si sumamos desde 0 a 5^2 es decir los primeros 26 términos de A004018
Ahí queda eso.
León-Sotelo
Esto nos lo da la función r(n) sum of squares function y practicamente los podemos obtener con: http://wims.unice.fr/wims/en_tool~number~twosquares.en.html
Así por ejemplo para un R^2=441 la única descomposición que encontramos es
0^2+21^2 que corresponde a 4 puntos.Para R^2=425 obtenemos 5^2+20^2,8^2+19^2 y 13^2+16^2 tres representaciones distintas que nos darían 8*3=24 puntos,para R^2=392 obtenemos 14^2+14^2 una única representación donde no hay cero pero como son iguales solo admite 4 puntos
(+-14,+-14).Los números como 437 no se pueden representar como suma de dos cuadrados al igual que el 437=19*23 los que tienen algún factor primo p que es igual a 3 mod 4 con potencia impar(en este caso los dos el 19 y el 23) no se pueden poner como suma de dos cuadrados.
Si lo queremos todo mas fácil entonces (Sloane's A046109) nos da los puntos situados justo en la circunferencia(en la linea) para R=0,1,2,3...
También podriamos hacer esto con la herramienta:
http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM
contando el número de soluciones de x^2+y^2=R^2
Para el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el interior de un círculo de radio R es N(r) y nos lo da la fórmula Gauss's circle problem y si los queremos directamente para R=0,1,2,3,... (Sloane's A000328).Si queremos seguir enredando N(r) está relacionada con sum of squares function mediante la fórmula N(r)=Sum(r(n),n,0,r^2) que es la suma de todas las posibles representaciones de los radios desde 0 a r^2 como suma de dos cuadrados que los tenemos aquí: A004018
Por ejemplo en una circunferencia de radio 5 cinco vemos que hay por medio de la secuencia A046109 12 puntos enteros en la propia circunferencia, por la A000328 vemos que hay en el interior del circulo de radio 5, 81 puntos enteros que son los mismos que si sumamos desde 0 a 5^2 es decir los primeros 26 términos de A004018
Ahí queda eso.
León-Sotelo
miércoles, 7 de noviembre de 2007
Divisibilidad y Primos
En un problema de divisibilidad, las mejores herramientas suelen ser:
si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.
si a / b y b =/=0 entonces el módulo de b es mayor o igual que el módulo de a.
http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202005-06/Material/Aritmetica/Aritmetica.pdf
Dados dos números enteros a y b (con a distinto de 0), se dice que a divide a b, y lo escribimos como a/b,si existe un c∈Z tal que b= ac.
También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a.
Algunas propiedades derivadas de la definición anterior:
1/a
a/0
a/b y a/c ⇒ a/b+c , ab+c o mas generalmente:
a/b y a/c ⇔ a/bx+cy para cualesquiera x, y∈ Z
a/b y b/a ⇒ a = b o bien a = -b
Algoritmo de Euclides
Este método se basa en la siguiente propiedad:
si A y B son enteros entonces DCM(A,B) = DCM(A-B,B)
Pueden encontrar la demostración aquí.
Buscando Primos
Una forma de ver si un número es primo es probar dividirlo por todos los números menores que él y si ninguno lo divide, ¡ganamos!, el número es primo
Sin embargo, el divisor (distinto de n) más grande posible es n/2, así que podríamos probar sólo hasta n/2 en vez de n-1. Pero si n/2 es un número entero que es divisor de n, entonces 2 también es divisor (¡porque n dividido 2 es entero!), pero ya probamos antes si el 2 dividía a n. Así que no hace falta probar con el n/2. Entonces el siguiente divisor más grande posible es n/3, pero por un razonamiento análogo, tampoco hace falta probarlo ya que antes habíamos probado con 3.
¿Hasta cuando podemos repetir esto? Bueno hasta que n/i = i, o sea hasta que n = i^2, o sea hasta que i=sqrt(n). Una forma más formal de ver esto es que si d es un divisor de n, entonces n/d es un divisor de n. Así que en vez de probar con estos dos números hace falta probar sólo con el más chico. Pero si uno es mayor que sqrt(n) entonces el otro es menor que n/sqrt(n) =sqrt(n). Por ello el más chico seguro que es menor que n y entonces sólo hace falta probar hasta sqrt(n)
Vamos a probar si 7247 es primo
Sqrt(7247)=85.129 debemos probar hasta con el número primo menor o igual que 85.129 que
en este caso es el 83
Como lectura esta muy bien el Teorema de los números primos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/16-2-o-primos.html
León-Sotelo
si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.
si a / b y b =/=0 entonces el módulo de b es mayor o igual que el módulo de a.
http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202005-06/Material/Aritmetica/Aritmetica.pdf
Dados dos números enteros a y b (con a distinto de 0), se dice que a divide a b, y lo escribimos como a/b,si existe un c∈Z tal que b= ac.
También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a.
Algunas propiedades derivadas de la definición anterior:
1/a
a/0
a/b y a/c ⇒ a/b+c , ab+c o mas generalmente:
a/b y a/c ⇔ a/bx+cy para cualesquiera x, y∈ Z
a/b y b/a ⇒ a = b o bien a = -b
Algoritmo de Euclides
Este método se basa en la siguiente propiedad:
si A y B son enteros entonces DCM(A,B) = DCM(A-B,B)
Pueden encontrar la demostración aquí.
Buscando Primos
Una forma de ver si un número es primo es probar dividirlo por todos los números menores que él y si ninguno lo divide, ¡ganamos!, el número es primo
Sin embargo, el divisor (distinto de n) más grande posible es n/2, así que podríamos probar sólo hasta n/2 en vez de n-1. Pero si n/2 es un número entero que es divisor de n, entonces 2 también es divisor (¡porque n dividido 2 es entero!), pero ya probamos antes si el 2 dividía a n. Así que no hace falta probar con el n/2. Entonces el siguiente divisor más grande posible es n/3, pero por un razonamiento análogo, tampoco hace falta probarlo ya que antes habíamos probado con 3.
¿Hasta cuando podemos repetir esto? Bueno hasta que n/i = i, o sea hasta que n = i^2, o sea hasta que i=sqrt(n). Una forma más formal de ver esto es que si d es un divisor de n, entonces n/d es un divisor de n. Así que en vez de probar con estos dos números hace falta probar sólo con el más chico. Pero si uno es mayor que sqrt(n) entonces el otro es menor que n/sqrt(n) =sqrt(n). Por ello el más chico seguro que es menor que n y entonces sólo hace falta probar hasta sqrt(n)
Vamos a probar si 7247 es primo
Sqrt(7247)=85.129 debemos probar hasta con el número primo menor o igual que 85.129 que
en este caso es el 83
Como lectura esta muy bien el Teorema de los números primos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/16-2-o-primos.html
León-Sotelo
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