Lattice Points

¿Cuantos puntos de coordenadas enteras están situados en una circunferencia de radio R centrada en el origen O(0,0)?
Esto nos lo da la función r(n) sum of squares function y practicamente los podemos obtener con: http://wims.unice.fr/wims/en_tool~number~twosquares.en.html
Así por ejemplo para un R^2=441 la única descomposición que encontramos es
0^2+21^2 que corresponde a 4 puntos.Para R^2=425 obtenemos 5^2+20^2,8^2+19^2 y 13^2+16^2 tres representaciones distintas que nos darían 8*3=24 puntos,para R^2=392 obtenemos 14^2+14^2 una única representación donde no hay cero pero como son iguales solo admite 4 puntos
(+-14,+-14).Los números como 437 no se pueden representar como suma de dos cuadrados al igual que el 437=19*23 los que tienen algún factor primo p que es igual a 3 mod 4 con potencia impar(en este caso los dos el 19 y el 23) no se pueden poner como suma de dos cuadrados.
Si lo queremos todo mas fácil entonces (Sloane's A046109) nos da los puntos situados justo en la circunferencia(en la linea) para R=0,1,2,3...
También podriamos hacer esto con la herramienta:
http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM
contando el número de soluciones de x^2+y^2=R^2

Para el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el interior de un círculo de radio R es N(r) y nos lo da la fórmula Gauss's circle problem y si los queremos directamente para R=0,1,2,3,... (Sloane's A000328).Si queremos seguir enredando N(r) está relacionada con sum of squares function mediante la fórmula N(r)=Sum(r(n),n,0,r^2) que es la suma de todas las posibles representaciones de los radios desde 0 a r^2 como suma de dos cuadrados que los tenemos aquí: A004018
Por ejemplo en una circunferencia de radio 5 cinco vemos que hay por medio de la secuencia A046109 12 puntos enteros en la propia circunferencia, por la A000328 vemos que hay en el interior del circulo de radio 5, 81 puntos enteros que son los mismos que si sumamos desde 0 a 5^2 es decir los primeros 26 términos de A004018
Ahí queda eso.

León-Sotelo