Jacobiano transform.

x=rcost Dx/Dr=cost Dx/Dt=-rsint
y=rsent Dy/Dr=sent Dy/Dt= rcost
J(x,y/r,t)=r(cost)^2+r(sent)^2=r
En la integral debemos de hacer el cambio a polares y además multiplicar por el valor de J.Ejemplos:
http://www.innova.uned.es/webpages/ildef/Mate_III_Econ/int_doble.pdf
Vamos con la transformación inversa:
r=sqrt(x^2+y^2)
t=arctan(y/x)
Dr/Dx=x/sqrt(x^2+y^2) Dr/Dy=y/sqrt(x^2+y^2)
Dt/Dx=-y/x^2((y^2/x^2)+1) Dt/Dy=1/x((y^2/x^2)+1)
Haciendo el determinante obtenemos J(r,t/x,t)=1/sqrt(x^2+y^2)
Obsérvese que J(x,y)=r=1/J(r,t)=sqrt(x^2+y^2)

A useful fact is that the Jacobian of the inverse transformation is the reciprocal of the Jacobian of the original transformation:
Aqui hay una prueba de todo ello:
http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleIntegration/jacobians.htm
francisco.lsotelo@gmail.com