Congruent and Similar Triangles

Cuidado con los casos que no son correctos:

http://www.gomath.com/members/test/tutorial/section23/p1.html

http://www.onlinemathlearning.com/congruent-triangles.html#aas

http://www.onlinemathlearning.com/similar-triangles.html

http://www.onlinemathlearning.com/triangle-inequality.html

http://www.mathwords.com/s/similarity_tests_for_triangles.htm

El fallo:
http://mathforum.org/library/drmath/view/54659.html

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml

Lo mejor de la igualdad con los cuatro criterios:
http://www.educa.madrid.org/web/cp.claracampoamor.fuenlabrada/flash/area/matematicas/378.swf
http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm

Lo mas claro de la semejanza:
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/semej3.htm
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm

León-Sotelo

Combinations with Duplicate Objects

Todo un clasico en estas tierras:
http://mathforum.org/library/drmath/view/56197.html

y no podia faltar El primcipio de Inclusión Exclusion

http://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math391I/Inclusion-Exclusion.pdf

La generalizacion del principio está en el Grimaldi y en mi fichero titulado
"Divisibilidad y Venn" en el otro blog:

http://leonsotelo.wordpress.com/2008/12/05/divisibilidad-y-venn/

http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/courses/hw6.pdf

León-Sotelo

Resto chino de E.L. Lady

Elegante manera del famoso teorema
http://www.math.hawaii.edu/~lee/courses/Chinese.pdf

Resto chino sofisticado:
http://math2.org/mmb/thread/39678

León-Sotelo

Aproximacion Normal Binomial Poisson

En la practica se utiliza la aproximación de Binomial a la Normal cuando :
n>=30, np>=5, nq>=5
La Binomial podemos aproximarla a una distribución de Poisson donde el número de pruebas es muy alto, pero la probabilidad de éxito muy baja
si n>50 y p<0.1 y np<5
La de Poisson la podremos aproximar a la Normal si np>5
No olvidar las correcciones por continuidad.

León-Sotelo

Tests convergencia series

http://pirate.shu.edu/projects/reals/numser/index.html
http://www.math.duke.edu/%7Ecbray/0607Spring/41/SeriesTests.pdf
Y registra en este último enlace que hay de todo y bueno

La suma de una serie hipergeometica en la que a_n+1/a_n=(an+b)/(an+c) con a>0 b=/=0 y a+b-c =/=0 converge cuando (c-b)/a>1
Ver problema IV-59 del Tebar Flores. donde vemos que:
en el intervalo donde converge su suma lo hace al valor S=c*a_1/(c-a-b) donde
a_1 es el primer termino.

http://www.matap.uma.es/~calcomp/apuntes/TemaC2.pdf
http://www.escet.urjc.es/~matemati/cal_itilade/T1.pdf
http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/Series_Potencias.pdf

León-Sotelo

Estadistica

Medidas de posición.Centiles...
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema3.pdf
Medidas de centralización.Medias, modas...
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema4.pdf
Medidas de dispersión.Varianzas...
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema5.pdf
Correlación lineal
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema10.pdf
Regresión lineal
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema12.pdf
Modelos de Distribuciones
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema20.pdf
Distribuciones muestrales
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema21.pdf

Si por S representamos Suma tenemos:
Med(x)= S(x)/n Med(y)=S(y)/n
Var(x)=S(x^2)/n -(Med(x))^2 Var(y)=S(y^2)/n-(Med(y))^2
Var(xy)=S(xy)/n-Med(x)*Med(y)
r=Var(xy)/Sqrt(Var(x)*Var(y))
y/x) y-Med(y)=Var(xy)/Var(x)*(x-Med(x))
x/y) x-Med(x)=Var(xy)/Var(y)*(y-Med(y))
y aqí lo tenemos computerizado:

http://www.iesmurgi.org/matematicas/materiales/correlacion/secciones/problema/proceso.php Como en el plano cartesiano la y son ordenadas y las x son abcisas los coeficientes angulares de las rectas(con las y despejadas para poder representarlas en el mismo plano cartesiano) son m(y/x)=Var(x,y)/Var(x)
y m(x/y)=Var(y)/Var(x,y) por lo que m(y/x)*(1/m(x/y))=r^2
4y=15x+10 m1=15/4
64x=15y-110 m2=64/15; 1/m2=15/64
r^2=(15/4)*(15/64)=(15/16)^2

Aqui dos buenos formularios:

http://150.214.179.49/Asignaturas/EUP/metodos/formulario.pdf
http://www3.uji.es/~mateu/formulario.doc

Y unos buenos y claros apuntes de la uhu
http://www.uhu.es/45110/apuntes.htm

El numero de intervalos para una distribución de datos agrupados se hace aproximadamente igual a la raiz cuadrada del número de datos y múltiplos de 2,3,5,10 y 20.
Aquí tenemos ejemplos:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/solucionlibroa/unidad14.pdf

León-Sotelo

Multiplicadores de Lagrange

f(x,y) es la función a maximizar o minimizar
R1(x,y)=0
R2(x,y)=0 son las restricciones
¡ojo! igualadas a cero
Formamos la función Lagrangiana siguiente:
f(x,y)=p*R1(x,y)+q*R2(x,y)

Derivamos respecto a x,y,p y q que nos dan cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que resuelven el problema.
He aquí un problema resuelto de un parcial de Teleco-Sevilla
http://hercules.us.es/~mbilbao/pdffiles/ct2k6p2.pdf
Aquí el manejo del Hessiano por una vez:
http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/slgonzal/matematicas1_archivos/tema4-optimizacion.pdf
http://www.monografias.com/trabajos35/discriminante-o-hessiano/discriminante-o-hessiano.shtml#matriz

http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema12.htm

http://www.satd.uma.es/matap/svera/probres/pr3/pr3a3_1.html#extremos

León-Sotelo

Trigonometic functions representation

Estudiamos aqui las representaciones de las seis en la circunferencia unitaria

http://www.themathpage.com/aTrig/line.htm
http://www.ies.co.jp/math/java/trig/sixtrigfn/sixtrigfn.html
http://mathplotter.lawrenceville.org/mathplotter/mathPage/trig.htm
León-Sotelo

Ecuación diferencial lineal

Ecuación canonica: y'+P(x)*y=Q(x)

y'+4y=x^2e^(-4x) , (D+4)y=0, D=-4, y(h)= Ce^(-4x)
por variacion de las constantes:
-C*4x*e^(-4x)+C'e^(-4x)+4Ce^(-4x)=x^2*e^(-4x)
C'=x^2 C=x^3/3+K que sustituida en y(h) da:
y=(x^3/3+K)*e^(-4x).Podemos comprobarla con "solucia":

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=P65264EDA6.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Fsolucia.en

Algoritmo Gauss Jordan

Aqui podemos ver bien la evolución del famoso algoritmo por ejemplo metiendole una matriz de 5x5.

http://www.gregthatcher.com/Mathematics/GaussJordan.aspx

Da lo mismo hacer ceros en cada una de las columnas dejando en cada columna un solo uno que hacer ceros por debajo de la diagonal principal y una vez hecho esto hacer ceros por encima de la diagonal principal.

León-Sotelo

Enteros consecutivos

The number of ways in which n may be expressed as a sum of one or more consecutive positive integers is equal to the number of positive odd divisors of n.
50! = 2^47 × 3^22 × 5^12 × 7^8 × 11^4 × 13^3 × 17^2 × 19^2 × 23^2 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47
Divisores impares:23*13*9*5*4*3*3*3*2^6=93.000.960 formas de expresar 50! como suma de enteros consecutivos.


http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Secondary_Units/consecnumbers.aspx
http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Algebra/JacksonsCon.aspx
http://mathforum.org/library/drmath/view/55979.html
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/MercheSanchez/Problema%20numeros.pdf

http://centromatematico.uregina.ca/mp/previous2002/feb03sol.html
http://www.qbyte.org/puzzles/p092s.html

http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=507&part=solution

Euler totient

Si mcd(a,m)=1 entonces a^fi(m)=1 mod m

Hallar los dos ultimos digitos de N=17^19^23^29^31^37.

17^19^23^29^31^37 (mod 100) fi(100)=40

19^23^29^31^37 (mod 40) fi(40)=16

23^29^31^37 (mod 16) fi(16)=8

29^31^37 (mod 8) fi(8)=4

31^37 (mod 4) fi(4)=2

37 (mod 2) fi(2)=1 Ahora procedemos al revés:

37=1 (mod 2)

31^37 =31^1=31=3 (mod 4)

29^31^37 =29^3=5^3=5 (mod 8)

23^29^31^37= 23^5=7^5= 7 (mod 16)

19^23^29^31^37 = 19^7=19 (mod 40)

17^19^23^29^31^37 =17^19= 53 (mod 100) que son los dos ultimos digitos

León-Sotelo