Palíndromos o Capicuas

a(n)= número de capicuas menores que 10^n

a(n)=2(10^(n/2) -1) si n es par
a(n)=11(10^(n-1)/2) -2 si n es impar


Number of nonzero palindromes less than 10^n.
9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998, 1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998, 10999999998, 19999999998, 109999999998, 199999999998, 1099999999998

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Riemann

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/Math21BHWDIRECTORY/Definite.pdf

Lim n=>oo de (Sum((1/n)*f(i/n),i,1,oo)=Int(f(x),x,0,1)

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Magic Box.Euclides extendido

http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node7.php3

2322***1***0***#
654****0***1***3
360****1***-3***1
294*** -1***4***1
66*****2** -7***4
30**** -9***32**2
6******20**-71**5
0***** -109**387#

2322*20-654*71=6 y al dividir por 6
387*20-109*71=1

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Pascal. Entradas impares

1. Express the number of the row in binary
2. Count the number of 1's
3. Raise 2 to that power

1)83(10 = 1010011(2
2)4 unos
3)La fila 83 tiene 2^4 =16 entradas impares

Las filas del triángulo de Pascal se cuentan como 0,1,2,3,4,5... así la
fila 5 es 1 5 10 10 5 1 que vemos que tiene 4 entradas impares
en efecto 5(10= 101(2 que tiene 2 unos así 2^2=4

Para el estudio del Teorema de Lucas remitirse a:
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.4-5.shtml

C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=C(6,3)
C(2,0)+C(3,1)+C(4,2)+C(5,3)+C(6,4)=C(7,4)
C(5,0)+C(6,1)+C(7,2)+...+C(995,990)=C(996,990)
(C(3,0))^2+(C(3,1))^2+(C (3,2))^2+(C(3,3))^2=C(6,3) = C(2m,m)

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T.fundamental.Paramétricas

H(x) = Int (f (t),t,v(x),u(x))

donde u(x) y v(x) son ambas diferenciables en [a, b].

Tenemos :

H '(x) = f(v(x))*v '(x) - f(u(x))*u '(x)
si f depende de x y de t f=f(x,t) aqui habria que añadir f '(x,t) y obtendriamos la fórmula de Leibniz.Ver:

http://www.ciencias.uniovi.es/titulaciones/asignaturas/fisica/plan2002/AM/Apuntes/Cuadrevcap5.doc
en el paragrafo 5.5.3 y

http://www.profes.net/rep_documentos/Monograf/SEL04pteofc9c.PDF

Ejemplos:

d/dx(Int(e^(-t^2),t,x,x^2))=F(x^2)-F(x)=e^(-x^4)*2x-e^(-x^2)

d/dx(Int(1/(1-t^2),t,3x,x^2))=(1/(1-x^4))*2x-(1/(1-(3x)^2))*3

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La ampliación para integrales paramétricas puede comenzar a estudiarse aquí:

http://www.ciencias.uniovi.es/titulaciones/asignaturas/fisica/plan2002/AM/integrales_dependientes_de_un_pa.htm Observemos que con poco mas obtenemos la derivación paramétrica:
http://mathworld.wolfram.com/LeibnizIntegralRule.html
http://mathworld.wolfram.com/IntegrationUndertheIntegralSign.html

y de forma más asequible y visual:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_using_parametric_derivatives
http://www.youtube.com/watch?v=NOMSmS7K9Tw
http://www.dma.fi.upm.es/mpgomez/asigna00.html
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/05-06/primerciclo/analisis/Problemas/1eulerianas.pdf
http://personal.telefonica.terra.es/web/imm/Imagenes/2ADE/MatIII/ejercicios/int_eulerianas.pdf

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Páginas y dígitos

To number a book from 1 up to its last page took 552 digits.
How many pages are there in the book?
If P(n) is the number of digits used to number n pages, the formula for P(n) is:

P(n) = n , if n is between 1 and 9
P(n) = 2n-9 , if n is between 10 and 99
P(n) = 3n-108 , if n is between 100 and 999
P(n) = 4n-1107 , if n is between 1000 and 9999
P(n) = kn-[ (10k -1)/9 - k ] , if n is a k-digit number.
For the question at hand, we simply have to solve the equation 552=(3n-108) and that means that there are n=220 pages in the book.

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Bisectrices en 3D

Hallar las bisectrices de los ángulos que forman las rectas siguientes:

(x,y,z)=(1,1, - 1) + p(3,0,4)
(x,y,z)=(1,1, - 1) + q(0,5,12)

Se entiende que p y q son parámetros y que ambas rectas pasan
por (1,1,-1) (y sus bisectrices también).
Los unitarios tangentes a las rectas son:

u1=(3/5,0,4/5)
u2=(0,5/13,12/13)

Los vectores tangentes a las bisectrices son:

v1=u1+u2=(3/5,5/13,112/65)
v2=u1-u2=(3/5,-5/13,-8/65)