Discontinuidades

Algún día acabaremos poniéndonos de acuerdo con las dichosas discontinuidades.Como siempre me ha interesado el tema expongo lo mas fresco que tengo.Lo primero que haría es una gran división en dos grupos entre las evitables y las no evitables para coincidir con los textos ingleses( removable and no removable ).Una aclaración inicial,si la función vale infinito mas que decir que no existe es mejor decir que no está definida y los limites si son infinitos no existen.El infinito no es nada.Recuerda que está en la puerta Osario. Grupo 1 para las discontinuidades evitables,este grupo creo que lo tenemos muy claro todos y se refiere a aquellas en que existe el límite en el punto y es finito (lo que implica la igualdad y finitud de los límites laterales) pero dicho límite o bien es distinto del valor de la función en el punto o la función no esta definida en ese punto.Es decir las evitables son todas aquellas que tienen limite y ademas finito pero que no coincide este con f(a) por alguno de los dos motivos anteriormente expuestos. Grupo 2 para las discontinuidades que no se pueden evitar, las verdaderas discontinuidades,las No evitables.Son las que no tienen limite.Incluimos aquí aquellas que no tienen limite,bien porque alguno de los limites laterales es infinito,bien porque oscile y no alcance un valor determinado,bien porque en ese extremo carece de limite porque no existe ni la funcion en ese punto... Las discontinuidades no evitables que pueden ser: a)Discontinuidades no evitables de 1ª especie o de salto finito en las que ambos limites laterales existen y son ambos finitos pero no coinciden por ser desiguales el de por la izquierda y el de por la derecha,independientemente de que exista o no exista f(a). b)Discontinuidades no evitables de 1ª especie o de salto infinito en las que uno de los limites laterales es finito y el otro infinito o ambos infinitos de distinto signo.(Si los limites son infinitos de igual signo hablariamos simplemente de discontinuidad asintotica ) c)Discontinuidades no evitables de 2ª especie. Si no existe alguno de los limites laterales. (Tipo y=sen pi/x para x=0) Lo que en habla inglesa se llama Essential discontinuity Wikipedia afina un poquito mas(ver ejemplos): http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades F(x)=(x-2)(x+2)(x-5)/(x-2)(x-7) Raíces en x = -2 y en x = 5 Discontinuidad evitable en x = 2 Asíntota vertical en x=7 Para que una función sea continua en un punto a es necesario y suficiente que: 1)Exista el valor de la función en el punto a, es decir f(a) y este sea finito 2)Existan los limites laterales y sean finitos e iguales entre sí e ... 3)Iguales a f(a) Aquí tenemos apuntes y ejercicios nivel Cou bastante buenos: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Partes/recreativa.html http://mshs-staff.asfm.edu.mx/~wells_dennis/NotesFDWK/2_3.pdf La continuidad en los endpoints: According to the basic definition, we would have to say that sqrt(x) is not continuous at 0. 0 is an endpoint of the domain of sqrt(x),then only one of the two one side-limits can possibly exist.So it is simply imposible to have lim [f(x),x=> 0].But then that means no function can ever be continuous at the endpoints of its domain.So, if f has domain [a,b] we will say that f is continuous at a if and only if the right hand limit a agrees with f(a) and we say that f is continuous at b if and only if the left hand limit at b agrees with f(b)."If f is defined on one side of an endpoint of the interval,we understand continuous at the endpoints to mean continuous fron the right or continuous from the left."(sic). My conclussion after reading: f(x)=sqrt(1-x^2) is continuous at [-1,1], with limit 0 at -1 and 1, but it is not continuous at the points 1 and -1. A function is continuous at one closed interval [a,b] if it is continuous at all the points of the open interval ]a,b[ and it is continuous im a by the right hand and by the left hand in b.If the function is continuous in the open interval ]a,b[ if it is continuous in all the points of the interval. http://usuarios.lycos.es/manuelnando/apunteslimites.htm http://matematica.50webs.com/continuidad.html http://www.ugr.es/~crosales/limites.pdf http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Continuidad/TContinuidad.htm First kind discontinuity is when leftlimit and right limit exist and are both finite.All other kinds of discontinuities are second kind discontinuity (leftlimit or right limit is infinite (1/x for example) , or no limit(sin(1/x) in 0 for example)). On dit que f présente une discontinuité de première espèce en a si leslimites à gauche et à droite de a existent (en convenant que lorsque aest une extrémité de I seule l'existence de la limite à gauche ou àdroite est requise) De todos modos aqui tenemos otra forma de considerar las discontinuidades mas al estilo de Rey Pastor/Castro Brzezicki en sus "Elementos de Matemáticas" que no se puede perder de vista porque persiste en mas autores http://books.google.com/books?id=Rk3ImXQqp7QC&pg=PA71&lpg=PA71&dq=discontinuidad+segunda+especie&source=web&ots=Lj1Vaboqkp&sig=q00kr6Y_TcxjeZy5yYwACg2Pjyg Esta está muy bien: http://www.ort.edu.uy/fi/pdf/haim.pdf y no podia faltar: http://www.gatago.org/es/ciencia/matematicas/47545121.html y esto todavia aclara cosas: http://people.hofstra.edu/stefan_waner/Realworld/calctopic1/canddex.html Hoy 24/11/2007 he encontrado otra cosita: http://www.masquemates.com/continuidad.htm Y todavia algo mas: http://books.google.es/books?id=Rk3ImXQqp7QC&pg=PA71&lpg=PA71&dq=continuidad+sin+levantar+lapiz+papel&source=bl&ots=LkXZi6qygl&sig=cZboYU7gCYncNhk72bxtZCinI20&hl=es&ei=9xLmSePWDM7N-Qbv572OCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#PPA71,M1 Y mas... http://canek.uam.mx/ Al final volvemos a Bachillerato repasamos y nos acabamos de enterar por fin: http://platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/PFDN/1%20BCT%2009%20Continuidad.pdf http://platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/PFDN/1%20BCT%2009%20Continuidad%20profe.pdf De momento dejamos establecida la clasificación que da Vitutor: http://www.vitutor.com/fun/3/b_5.html León-Sotelo Con fecha 11/06/2010 en esta mi lucha por estandarizar la clasificación de las discontinuidades me arriesgo a recomendar el uso de cualquiera de estos dos enlaces. http://www.clasesdeapoyo.com/documents/search/3059 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Continuidad_1D.pdf De esta forma coincidimos hasta con los de habla inglesa: http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/disconti.html El tema asintótico cuando los limites son infinitos y del mismo signo queda claro aqui: http://80.59.24.98/Joomla/IES/Departamentos/Matematicas/Matematicas/Rogelio/matem/Continuidad.pdf Y mis conclusiones están aqui de una vez resumidas : Clasificación de las discontinuidades: http://leonsotelo.wordpress.com/2010/06/12/discontinuidades/ En plan bestia se puede ver aqui: http://leonsotelo.wordpress.com/2010/06/13/discontinuidades-a-lo-bestia/ Al final un problema bien hecho,como Dios manda: http://www.clasesdeapoyo.com/documents/show?id=3341 Aquí estan la inmensa mayoria de sus tipos en esta galeria de discontinuidades de wikipedia donde todas están dibujadas:

Buscar en Google "Galeria de discontinuidades wikipedia" o bien:

http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades#Galer.C3.ADa_de_discontinuidades