Cartesian coordinate systems

Lo mejorcito de la red respecto a ejes coordenadas esféricas, cilíndricas etc... lo tienen los de teleco en Sevilla justo en la cátedra de Antonio Gonzalez:
http://laplace.us.es/campos/teoria/teoria.php
Polares: http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2414/PolarCoordinates.asp
Esféricas: http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym1/sld0014.htm
Cilíndricas:http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym1/sld0011.htm
Translación y rotación de ejes:
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas#Traslaci.C3.B3n_del_origen
http://www.azc.uam.mx/cyad/procesos/website/cursos/INTER/1Transformación.htm
Orden: Si B^2-4AC=0 primero rotación y después translación.Si B^2-4AC<>0 lo hacemos a la inversa.B es el término en xy.

Pappus Guldin:http://www.cpgec.ufrgs.br/morsch/mecanica/aula/a13.pdf

Nabla Gradiente y Rotacional:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/vector/operador_nabla.htm

León-Sotelo

Miscelanea

Un nombre premier n'a que deux facteurs : 1 et lui-même.
Un nombre composé a plus de deux facteurs.
Le nombre 1 n'est ni un nombre premier, ni un nombre composé.

Hablando de Taylor:
The degree is the degree of the polynomial, and the order is the order of the derivative

El cero no tiene mas que un múltiplo.El propio cero
mismo.Es múltiplo de cualquier número.Es múltiplo universal

El 1 no tiene mas que un divisor.Él mismo.
El 1 divide a cualquier número.Es divisor universal.

Abs (x)=distancia de x al origen.Así Abs(0)=0
Abs(x)= x si x>=0
Abs(x)=-x si x<0

http://www.fmat.cl/index.php?act=attach&type=post&id=15384
(meter contraseña leonsotelo magdalena)

http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve3/s34/s34/s34.html
http://regentsprep.org/REgents/mathb/7D8/absinequal.htm
http://www.sci.wsu.edu/~kentler/Fall97_101/nojs/Chapter2/section6.html
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/grupo11m-1/feb00sol.pdf
Si de todos modos hubiera problemas partimos la inecuación en trozos segun sus valores significativos y vamos probando in
tervalo por intervalo.Lo mas comodo es aquí claro:
http://www.hostsrv.com/webmab/app1/MSP/quickmath/02/pageGenerate?site=quickmath&s1=inequalities&s2=solve&s3=basic

Division by cero is Undefined. 0/0 is indeterminate, 1/0 is undefined

En las ecuaciones funcionales la sustituciones de x=>(por otro valor) se realizan siempre en la primera ecuación funcional

Ordered pairs of positive integers (a,b) it means the order matters when we list the pairs. In other words (3,1) is different from (1,3).

Recuerda que si n es par la fórmula correcta es
(a^n)^(1/n) = a para n par o sea sqrt((-3)^2)=-3=3

sqrt(p) es irracional si p no es un cuadrado perfecto
p^(1/n) es irracional si p no es una potencia n-esima

Pentagrama y Phi

In this next figure (pinchar enlaces de abajo) is a regular pentagon with an inscribed pentagram.All the line segments found there are equal in length to one of the five line segments described below:The length of the black line segment is 1 unit.The length of the red line seqment, a, is Ø. The length of the yellow line seqment, b, is 1/Ø. The length of the green line seqment, c, is 1, like the black segment. The length of the blue line seqment, d, is (1/Ø)2, or equivalently, 1 - (1/Ø), as can be seen from examining the figure. (Note that b + d = 1).

http://kjmaclean.com/Geometry/PentOverview.html

Ver:http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/pentagramratios.gif

Aqui tenemos las potencias de Phi:
http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/fipot.gif

Y aqui historias de Phi,Fibonacci,... para no perderselo

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/propsOfPhi.html#powers

León-Sotelo

Ceva, Menelao,Ptolomeo,Cateto...

Ceva:http://agutie.homestead.com/files/ceva.htm
Menelao:http://agutie.homestead.com/files/menelaus1.htm
Ptolomeo1:http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm
Ptolomeo2:http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/PG/Ptolemy.html
Stewart:http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfStewartsTheorem.html
Geometria:http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm
Cateto:http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/prop_dir.htm
Aqui pongo una generalizacion n-dimensional para el teorema del cateto
y de Pitágoras:
http://descartes.cnice.mecd.es/m_Geometria/t_cateto/index.htm

León-Sotelo

Ecuación general 2º grado

La ecuación general de segundo grado en dos variables es:
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
Esta ecuación representa siempre una curva cónica.
Si b²-4ac < 4ac =" 0">0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una hipérbola o dos rectas.
Aqui la tenemos estudiada según los signos:

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/Ecuaciones_2grado.html

Aqui podems ver otra forma de distinguir las conicas:

http://www.youtube.com/watch?v=H-Hs-xF1MQ0&feature=related

Y las fórmulas que en el video se ven:

http://www.supercable.es/~josegarrido/formulario%20conicas.pdf

León-Sotelo

Telescópica tangente

1º=(n+1º)-n
tg((n+1º)-n)=tg(1º)=tg(n+1)-tg(n)/1+tg(n+1)*tg(n)
tg(n+1)*tg(n)=(tg(n+1)-tg(n)-tg(1º))/tg(1º) o bien:
tg(n+1º)-tg(n)=sen(n+1º)/cos(n+1º)-sen(n)cos(n)=
sen(n+1º)cos(n)-cos(n+1º)sen(n)/cos(n+1º)cos(n)=
sen(n+1º-n)/cos(n+1º)cos(n)=
sen(1º)/cos(n+1º)cos(n)
Así (tg(n+1º)-tg(n))/sen(1º)=1/cos(n)cos(n+1º)

León-Sotelo

The cubic

sin[3x] = 3 sin[x] -4(sin[x])^3 (a)
cos[3x] = -3 cos[x] + 4(cos[x])^3 (b)
sinh[3x] = 3 sinh[x]+ 4 (sinh[x])^3 (c)
cosh[3x] =4 (cosh[x])^3 — 3 cosh[x] (d)

Ejemplo 1:
En x^3-6x=1 hacemos x=a*cos(x)
4a^3*(cos(x))^3-6acos(x)=1 y la comparamos con (b)
4a^3/6a=4/3 => a=2sqrt(2)
4(cos(x))^3-3cos(x)=sqrt(2)/2=> cos(3x)=sqrt(2)/2
x=15º,135º,255º... x=2sqrt(2)/2*cos135º=-2
Ya tenemos la descomposición:
(x+2)(x^2-2x-2)
Si la ecuación propuesta hubiese sido x^3+6x=4
la comparariamos con(c) y x=0.625816818...

León-Sotelo

Sumas de cuadrados producto

(a^2+b^2) (A^2+B^2) = (aA+bB)^2 + (aB-bA)^2

(a^2+b^2+c^2+d^2) (A^2+B^2+C^2+D^2) = (aA+bB+cC+dD)^2 + (aB-bA+cD-dC)^2 + (aC-bD-cA+dB)^2 + (aD-dA+bC-cB)^2

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+^z^2)=(ax+by+cz)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2+(ay-bx)^2

http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1343
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20005.5.shtml
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20008.5.shtml

León-Sotelo

Discontinuidades

Algún día acabaremos poniéndonos de acuerdo con las dichosas discontinuidades.Como siempre me ha interesado el tema expongo lo mas fresco que tengo.Lo primero que haría es una gran división en dos grupos entre las evitables y las no evitables para coincidir con los textos ingleses( removable and no removable ).Una aclaración inicial,si la función vale infinito mas que decir que no existe es mejor decir que no está definida y los limites si son infinitos no existen.El infinito no es nada.Recuerda que está en la puerta Osario. Grupo 1 para las discontinuidades evitables,este grupo creo que lo tenemos muy claro todos y se refiere a aquellas en que existe el límite en el punto y es finito (lo que implica la igualdad y finitud de los límites laterales) pero dicho límite o bien es distinto del valor de la función en el punto o la función no esta definida en ese punto.Es decir las evitables son todas aquellas que tienen limite y ademas finito pero que no coincide este con f(a) por alguno de los dos motivos anteriormente expuestos. Grupo 2 para las discontinuidades que no se pueden evitar, las verdaderas discontinuidades,las No evitables.Son las que no tienen limite.Incluimos aquí aquellas que no tienen limite,bien porque alguno de los limites laterales es infinito,bien porque oscile y no alcance un valor determinado,bien porque en ese extremo carece de limite porque no existe ni la funcion en ese punto... Las discontinuidades no evitables que pueden ser: a)Discontinuidades no evitables de 1ª especie o de salto finito en las que ambos limites laterales existen y son ambos finitos pero no coinciden por ser desiguales el de por la izquierda y el de por la derecha,independientemente de que exista o no exista f(a). b)Discontinuidades no evitables de 1ª especie o de salto infinito en las que uno de los limites laterales es finito y el otro infinito o ambos infinitos de distinto signo.(Si los limites son infinitos de igual signo hablariamos simplemente de discontinuidad asintotica ) c)Discontinuidades no evitables de 2ª especie. Si no existe alguno de los limites laterales. (Tipo y=sen pi/x para x=0) Lo que en habla inglesa se llama Essential discontinuity Wikipedia afina un poquito mas(ver ejemplos): http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades F(x)=(x-2)(x+2)(x-5)/(x-2)(x-7) Raíces en x = -2 y en x = 5 Discontinuidad evitable en x = 2 Asíntota vertical en x=7 Para que una función sea continua en un punto a es necesario y suficiente que: 1)Exista el valor de la función en el punto a, es decir f(a) y este sea finito 2)Existan los limites laterales y sean finitos e iguales entre sí e ... 3)Iguales a f(a) Aquí tenemos apuntes y ejercicios nivel Cou bastante buenos: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Partes/recreativa.html http://mshs-staff.asfm.edu.mx/~wells_dennis/NotesFDWK/2_3.pdf La continuidad en los endpoints: According to the basic definition, we would have to say that sqrt(x) is not continuous at 0. 0 is an endpoint of the domain of sqrt(x),then only one of the two one side-limits can possibly exist.So it is simply imposible to have lim [f(x),x=> 0].But then that means no function can ever be continuous at the endpoints of its domain.So, if f has domain [a,b] we will say that f is continuous at a if and only if the right hand limit a agrees with f(a) and we say that f is continuous at b if and only if the left hand limit at b agrees with f(b)."If f is defined on one side of an endpoint of the interval,we understand continuous at the endpoints to mean continuous fron the right or continuous from the left."(sic). My conclussion after reading: f(x)=sqrt(1-x^2) is continuous at [-1,1], with limit 0 at -1 and 1, but it is not continuous at the points 1 and -1. A function is continuous at one closed interval [a,b] if it is continuous at all the points of the open interval ]a,b[ and it is continuous im a by the right hand and by the left hand in b.If the function is continuous in the open interval ]a,b[ if it is continuous in all the points of the interval. http://usuarios.lycos.es/manuelnando/apunteslimites.htm http://matematica.50webs.com/continuidad.html http://www.ugr.es/~crosales/limites.pdf http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Continuidad/TContinuidad.htm First kind discontinuity is when leftlimit and right limit exist and are both finite.All other kinds of discontinuities are second kind discontinuity (leftlimit or right limit is infinite (1/x for example) , or no limit(sin(1/x) in 0 for example)). On dit que f présente une discontinuité de première espèce en a si leslimites à gauche et à droite de a existent (en convenant que lorsque aest une extrémité de I seule l'existence de la limite à gauche ou àdroite est requise) De todos modos aqui tenemos otra forma de considerar las discontinuidades mas al estilo de Rey Pastor/Castro Brzezicki en sus "Elementos de Matemáticas" que no se puede perder de vista porque persiste en mas autores http://books.google.com/books?id=Rk3ImXQqp7QC&pg=PA71&lpg=PA71&dq=discontinuidad+segunda+especie&source=web&ots=Lj1Vaboqkp&sig=q00kr6Y_TcxjeZy5yYwACg2Pjyg Esta está muy bien: http://www.ort.edu.uy/fi/pdf/haim.pdf y no podia faltar: http://www.gatago.org/es/ciencia/matematicas/47545121.html y esto todavia aclara cosas: http://people.hofstra.edu/stefan_waner/Realworld/calctopic1/canddex.html Hoy 24/11/2007 he encontrado otra cosita: http://www.masquemates.com/continuidad.htm Y todavia algo mas: http://books.google.es/books?id=Rk3ImXQqp7QC&pg=PA71&lpg=PA71&dq=continuidad+sin+levantar+lapiz+papel&source=bl&ots=LkXZi6qygl&sig=cZboYU7gCYncNhk72bxtZCinI20&hl=es&ei=9xLmSePWDM7N-Qbv572OCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#PPA71,M1 Y mas... http://canek.uam.mx/ Al final volvemos a Bachillerato repasamos y nos acabamos de enterar por fin: http://platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/PFDN/1%20BCT%2009%20Continuidad.pdf http://platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/PFDN/1%20BCT%2009%20Continuidad%20profe.pdf De momento dejamos establecida la clasificación que da Vitutor: http://www.vitutor.com/fun/3/b_5.html León-Sotelo Con fecha 11/06/2010 en esta mi lucha por estandarizar la clasificación de las discontinuidades me arriesgo a recomendar el uso de cualquiera de estos dos enlaces. http://www.clasesdeapoyo.com/documents/search/3059 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Continuidad_1D.pdf De esta forma coincidimos hasta con los de habla inglesa: http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/disconti.html El tema asintótico cuando los limites son infinitos y del mismo signo queda claro aqui: http://80.59.24.98/Joomla/IES/Departamentos/Matematicas/Matematicas/Rogelio/matem/Continuidad.pdf Y mis conclusiones están aqui de una vez resumidas : Clasificación de las discontinuidades: http://leonsotelo.wordpress.com/2010/06/12/discontinuidades/ En plan bestia se puede ver aqui: http://leonsotelo.wordpress.com/2010/06/13/discontinuidades-a-lo-bestia/ Al final un problema bien hecho,como Dios manda: http://www.clasesdeapoyo.com/documents/show?id=3341 Aquí estan la inmensa mayoria de sus tipos en esta galeria de discontinuidades de wikipedia donde todas están dibujadas:

Buscar en Google "Galeria de discontinuidades wikipedia" o bien:

http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades#Galer.C3.ADa_de_discontinuidades

Eres lo que comes(Para Bea)

12 Min 81.4 AM 81.40 12 Mayo
14 Min 81.0 AM 81.20
15 Min 80.9 AM 81.10
16 Min 80.9 AM 81.05
17 Min 81.1 AM 81.06
18 Min 80.6 AM 80.98
19 Min 80.5 AM 80.91
20 Min 80.5 AM 80.86
21 Min 80.3 AM 80.80
22 Min 80.7 AM 80.79
23 Min 80.7 AM 80.78
24 Min 80.5 AM 80.76
25 Min 80.8 AM 80.76
26 Min 80.3 AM 80.73
27 Min 80.1 AM 80.68
28 Min 80.2 AM 80.65
29 Min 80.2 AM 80.62
30 Min 80.2 AM 80.60
31 Min 80.0 AM 80.57
05 Min 79.7 AM 80.52
06 Min 79.8 AM 80.49
07 Min 79.5 AM 80.44
08 Min 79.5 AM 80.40
09 Min 79.9 AM 80.38
10 Min 79.4 AM 80.35
11 Min 79.2 AM 80.30
12 Min 79.2 AM 80.26
13 Min 79.6 AM 80.24
14 Min 79.6 AM 80.22
15 Min 79.1 AM 80.18
16 Min 79.6 AM 80.14
17 Min 79.3 AM 80.12
18 Min 79.1 AM 80.09
19 Min 79.1 AM 80.06
20 Min 79.4 AM 80.04
21 Min 79.2 AM 80.02
22 Min 79.1 AM 79.99
23 Min 78.9 AM 79.97
24 Min 78.8 AM 79.94
25 Min 78.7 AM 79.90
27 Min 78.8 AM 79.88
28 Min 79.2 AM 79.86
29 Min 78.6 AM 79.83
30 Min 78.8 AM 79.81
01 Min 78.8 AM 79.79
03 Min 78.5 AM 79.76
04 Min 78.6 AM 79.73
06 Min 78.5 AM 79.71
08 Min 78.0 AM 79.67
09 Min 78.1 AM 79.64
10 Min 78.0 AM 79.61
11 Min 77.7 AM 79.57
12 Min 78.3 AM 79 55
13 Min 78.0 AM 79.52
29 Min 78.0 AM 79.49 29 Sept
30 Min 77.9 AM 79.46
01 Min 77.5 AM 79.43
02 Min 77.5 AM 79.39
03 Min 77.9 AM 79.37
05 Min 77.7 AM 79.34
07 Min 77.1 AM 79.30
08 Min 77.7 AM 79.28
09 Min 77.6 AM 79.25
10 Min 77.5 AM 79.22
12 Min 77.4 AM 79.20
13 Min 77.3 AM 79.17
14 Min 77.0 AM 79.14
15 Min 77.3 AM 79.11
16 Min 77.2 AM 79.08
17 Min 77.2 AM 79.05
18 Min 77.2 AM 79.03
22 Min 76.8 AM 79.00
23 Min 76.8 AM 78.97
25 Min 77.3 AM 78.94
27 Min 77.2 AM 78.92
28 Min 77.0 AM 78.89
29 Min 77.1 AM 78.87
10 Min 77.0 AM 78.85
11 Min 77.0 AM 78.82
20 Min 77.0 AM 78.80
23 Min 76.9 AM 78.78
25 Min 76.9 AM 78.75
05 Min 77.9 AM 78.74 Febrero 2008
05 Min 81.4 AM 78.78 Noviem 2009(Pilates)
06 Min 80.9 AM 78.80
07 Min 80.7 AM 78.82
09 Min 80.4 AM 78.84
15 Min 80.4 AM 78.86
16 Min 80.2 AM 78.87
18 Min 80.0 AM 78.89 Bea casi 1
23 Min 80.2 AM 78.9030 Min 83.3 AM 78.95-D 4.35 30/09/2011
01 Min 83.3 AM 78.99-D 4.31
02 Min 83.2 AM 79.04-D 4.16
03 Min 82.9 AM 79.08-D 3.82
04 Min 82.7 AM 79.12-D 3.58
05 Min 82.6 AM 79.15-D 3.45
06 Min 82.8 AM 79.19-D 3.61
07 Min 82.5 AM 79,22-D 3.27
08 Min 82.4 AM 79.26-D 3.14
09 Min 82.0 AM 79.28-D 2.71
10 Min 82.1 AM 79.31-D 2.78
11 Min 81.8 AM 79.34-D 2.45 Ya vemos el 1
12 Min 81.9 AM 79.36-D 2.53
13 Min 81.9 AM 79.39-D 2.50
14 Min 81.5 AM 79.41-D 2.08
15 Min 81.5 AM 79.42-D 2.07
16 Min 81.6 AM 79.44-D 2.15
17 Min 81.3 AM 79.46-D 1.83
18 Min 81.3 AM 79.48-D 1.81
19 Min 81.0 AM 79.49-D 1.50 Tímidamente he visto el cero.
20 Min 81.3 AM 79.51-D 1.78
21 Min 80.9 AM 79.52-D 1.37
22 Min 80.9 AM 79.53-D 1.36
23 Min 80.8 AM 79.54-D 1.25
24 Min 80.7 AM 79.55-D 1.14
25 Min 80.4 AM 79.56-D 0.83
26 Min 80.7 AM 79.57-D 1.12
27 Min 80.2 AM 79.58-D 0.61
28 Min 79.9 AM 79.58-D 0.31    El 9 y el 7 de una vez
29 Min 79.5 AM 79.58-D 0.08    Estamos en el corte
30 Min 79.0 AM 79.57-D 0.57
31 Min 78.9 AM 79.57-D 0.67   Aparece el 8
32 Min 78.6 AM 79.56-D 0.96
33 Min 78.3 AM 79.55-D 1.25
34 Min 77.8 AM 79.54-D 1.74   Aparece el 7
35 Min 76.6 AM 79.45633147 D2.85 La mejor pero hay que seguir CAÑA.



De aquí calculamos las calorías necesarias y
el índice de masa corporal I.M.C 81/(1.64)^2
http://www.hipocrates.com/peso/
http://www.mujerdeelite.com/calculadoras/calorias_necesarias.php
http://www.mujerdeelite.com/calculadoras/calorias_necesarias.php
y el peso ideal que es nuestro objetivo: ¡El 69!
y además vestido

http://www.latinsalud.com/meters/peso_med.asp
http://dietasparaadelgazar.jaimaalkauzar.es/
Consulta del Doctor Luengo:
http://www.drluengo.net/Web4.htm

I.M.C. mas mono
http://www.ocu.org/IMC/

Variacion constantes

Sea la ecuación diferencial y'''+my''+ny'+py+q=Q(x)
Haciendo variables con x los parámetros en principio
constantes en la homogénea obtenemos el sistema
que resolvemos por Cramer calculando L',M'yN' que
una vez integradas nos dan L,M y N

L'y(1)+ M'y(2)+N'y(3)=0
L'y'(1)+M'y'(2)+N'y'(3)=0
L'y''(1)+M'y''(2)+N'y''(3)=Q(x)

L,M,N son las tres constantes que acompañan a cada una
de las tres soluciones de la homogénea y que varían al
hacerlas depender de x: L=L(x),M=M(x),N=N(x)

Véase capítulo IV página 113
http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Suma y Producto de Divisores

Partimos de la descomposición prima de N=p^a*q^b*r^c

El número de divisores positivos de N es D=(a+1)(b+1)(c+1)
La suma de todos sus divisores seria:

S=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)(1+r+r^2+...+r^c)=
(p^(a+1)-1/p-1)*(q^(b+1)-1/q-1)*(r^(c+1)-1/r-1)

Y el producto de todos sus divisores P=N^(D/2)=Sqrt(N^D)

León-Sotelo

Raices.E.D.O. homogeneas

Si las raices del polinomio P(D)=0 son:
r_1=1 (Raiz simple)
r_2=2 (Raiz doble)
r_3=3+4i (Raiz triple)
La solución de la homogenea es:

y_h=A*e^x+(Bx+C)e^2x+e^3x[(Dx^2+Ex+F)cos(4x)+(Gx^2+Hx+I)sen(4x)]

León-Sotelo

Razones y proporciones

a/b=c/d => a:b=c:d b y c medios a y d extremos
a/b=c/d sumando 1 a cada lado a+b/b=c+d/d
a/b=c/d restando 1 a cada lado a-b/b =c-d/d

a/b=c/d=e/f =a+c+e/b+d+f
a/b=c/d=e/f =a+c-e/b+ d-f
a/b=c/d=e/f =a-c+e/b- d+f

En general vale cualquier combinacion lineal:

a/b=c/d=e/f => pa/pb=qc/qd=re/rf
a/b=c/d=e/f = pa- qc+re/ pb- qd-rf

Aquí los portugueses nos dicen algo al respecto:

http://www.somatematica.com.br/fundam/propor.php
(leonsotelo magdalena)

León-Sotelo

Desarreglos k puntos fijos

La formula para desarreglos con ningun punto fijo:

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + n!/4! - ... + (-1)^n*n!/n!

La fórmula de los desarreglos con k puntos fijos:

D(n,k)=(n!/k!)*Sum((-1)^k/k!,k,0,n-k)) que coincide para n grande y k fijo con (n!/k!)*e^(-1)

Así se ve o se recuerda mejor:
D(n,k)=C(n,k)*D(n-k)

Generalización Binomial Theorem:

(-1)^k*C(n+k-1,k))=C(-n,k)

Ejemplo:1/(1+x)^7=(1+x)^(-7)=C(0+7-1,0)-C(1+7-1,1)X+C(2+7-1,2)-...
=C(6,0)-C(7,1)x+C(8,2)x^2-C(9,3)x^3+...=1-7x+28x^2-84x^3+...

También (-1)^(n+k) C(k-1,n-1)=C(-n,-k)

(sacado de Introduction to Combinatorial Mathematics de Liu)
Para andar por casa:

C(-7,3)=(-7)(-8)(-9)(10).../(-10)(-11)(-12)...*3!=-(7*8*9)/3! = -C(7+3-1,3!)
C(-3,-7)=(-3)!/(4!)*(-7)!=(-3)(-4)(-5)(-6)/4!=C(6,2)=15



Permutaciones circulares muy claritas.Profesor theta:
http://www.ilovemaths.com/classroom.asp
http://www.ilovemaths.com/3permcirc.asp

León-Sotelo

Regla signos de Descartes

La regla de Descartes se aplica a polinomios de coeficientes reales puesto que si fueran complejos no podríamos saber cuando cambian de signo.

La disminución en un número par de veces se debe a la aparición de las conjugadas de las raíces complejas cuando los coeficientes son reales.

http://gaussianos.com/la-regla-de-los-signos-de-descartes/
http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm
http://www.mitecnologico.com/ic/Main/ReglaDeLosSignosDeDescartes
http://www.youtube.com/watch?v=sj_vgQsKPAc

León-Sotelo

Integral.Error

S(n)= f(1)+f(2)+...+f(n) es una sobrestimación de
Int(f(x),x,1,n+1)
S(n)-f(1)=a(2)+a(3)+...+f(n) es una subestimación de
Int(f(x),x,1,n)
Int(f(x),x,1,n+1)<=S(n)<=f(1)+Int(f(x),x,1,n) Int(f(x),x,n+1,oo)<=Error=S-S(n)<=Int(f(x),x,n,oo) La ampliación de todo esto en: http://www.math.tamu.edu/~mbelk/RemaindersIntegral.pdf
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/series.7/index.html

Un buen enlace para Simpson,formula del trapecio,punto medio etc
http://gata.uv.es/~mulet/cursos/cn/intnum.pdf

León-Sotelo

Palíndromos o Capicuas

a(n)= número de capicuas menores que 10^n

a(n)=2(10^(n/2) -1) si n es par
a(n)=11(10^(n-1)/2) -2 si n es impar


Number of nonzero palindromes less than 10^n.
9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998, 1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998, 10999999998, 19999999998, 109999999998, 199999999998, 1099999999998

León-Sotelo

Riemann

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/Math21BHWDIRECTORY/Definite.pdf

Lim n=>oo de (Sum((1/n)*f(i/n),i,1,oo)=Int(f(x),x,0,1)

León-Sotelo

Magic Box.Euclides extendido

http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node7.php3

2322***1***0***#
654****0***1***3
360****1***-3***1
294*** -1***4***1
66*****2** -7***4
30**** -9***32**2
6******20**-71**5
0***** -109**387#

2322*20-654*71=6 y al dividir por 6
387*20-109*71=1

León-Sotelo

Pascal. Entradas impares

1. Express the number of the row in binary
2. Count the number of 1's
3. Raise 2 to that power

1)83(10 = 1010011(2
2)4 unos
3)La fila 83 tiene 2^4 =16 entradas impares

Las filas del triángulo de Pascal se cuentan como 0,1,2,3,4,5... así la
fila 5 es 1 5 10 10 5 1 que vemos que tiene 4 entradas impares
en efecto 5(10= 101(2 que tiene 2 unos así 2^2=4

Para el estudio del Teorema de Lucas remitirse a:
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.4-5.shtml

C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=C(6,3)
C(2,0)+C(3,1)+C(4,2)+C(5,3)+C(6,4)=C(7,4)
C(5,0)+C(6,1)+C(7,2)+...+C(995,990)=C(996,990)
(C(3,0))^2+(C(3,1))^2+(C (3,2))^2+(C(3,3))^2=C(6,3) = C(2m,m)

León-Sotelo

T.fundamental.Paramétricas

H(x) = Int (f (t),t,v(x),u(x))

donde u(x) y v(x) son ambas diferenciables en [a, b].

Tenemos :

H '(x) = f(v(x))*v '(x) - f(u(x))*u '(x)
si f depende de x y de t f=f(x,t) aqui habria que añadir f '(x,t) y obtendriamos la fórmula de Leibniz.Ver:

http://www.ciencias.uniovi.es/titulaciones/asignaturas/fisica/plan2002/AM/Apuntes/Cuadrevcap5.doc
en el paragrafo 5.5.3 y

http://www.profes.net/rep_documentos/Monograf/SEL04pteofc9c.PDF

Ejemplos:

d/dx(Int(e^(-t^2),t,x,x^2))=F(x^2)-F(x)=e^(-x^4)*2x-e^(-x^2)

d/dx(Int(1/(1-t^2),t,3x,x^2))=(1/(1-x^4))*2x-(1/(1-(3x)^2))*3

León-Sotelo

La ampliación para integrales paramétricas puede comenzar a estudiarse aquí:

http://www.ciencias.uniovi.es/titulaciones/asignaturas/fisica/plan2002/AM/integrales_dependientes_de_un_pa.htm Observemos que con poco mas obtenemos la derivación paramétrica:
http://mathworld.wolfram.com/LeibnizIntegralRule.html
http://mathworld.wolfram.com/IntegrationUndertheIntegralSign.html

y de forma más asequible y visual:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_using_parametric_derivatives
http://www.youtube.com/watch?v=NOMSmS7K9Tw
http://www.dma.fi.upm.es/mpgomez/asigna00.html
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/05-06/primerciclo/analisis/Problemas/1eulerianas.pdf
http://personal.telefonica.terra.es/web/imm/Imagenes/2ADE/MatIII/ejercicios/int_eulerianas.pdf

León-Sotelo

Páginas y dígitos

To number a book from 1 up to its last page took 552 digits.
How many pages are there in the book?
If P(n) is the number of digits used to number n pages, the formula for P(n) is:

P(n) = n , if n is between 1 and 9
P(n) = 2n-9 , if n is between 10 and 99
P(n) = 3n-108 , if n is between 100 and 999
P(n) = 4n-1107 , if n is between 1000 and 9999
P(n) = kn-[ (10k -1)/9 - k ] , if n is a k-digit number.
For the question at hand, we simply have to solve the equation 552=(3n-108) and that means that there are n=220 pages in the book.

León-Sotelo

Bisectrices en 3D

Hallar las bisectrices de los ángulos que forman las rectas siguientes:

(x,y,z)=(1,1, - 1) + p(3,0,4)
(x,y,z)=(1,1, - 1) + q(0,5,12)

Se entiende que p y q son parámetros y que ambas rectas pasan
por (1,1,-1) (y sus bisectrices también).
Los unitarios tangentes a las rectas son:

u1=(3/5,0,4/5)
u2=(0,5/13,12/13)

Los vectores tangentes a las bisectrices son:

v1=u1+u2=(3/5,5/13,112/65)
v2=u1-u2=(3/5,-5/13,-8/65)