Sucesiones

Además de las consabidas fórmulas del cálculo de límites:división por el término de mayor grado,multiplicar por el conjugado,límites del número e, L'Hopital... hemos de añadir los de la formula de Stirling,de la media aritmética y la geométrica, desarrollo en serie, infinitésimos equivalentes, y el criterio de Stolz.El criterio de cociente a_(n+1)/a_n es para series pero como cuando el valor de este límite es menor que 1 la serie converge y como para que converja es necesariamente lim{a_n}=0 pues eso, que si el cociente es menor que 1(hablamos de series de términos positivos) el límite de a_n es 0.Además si existe el límite a_(n+1)/a_n =p entonces también lim (a_n)^(1/n)=p

http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/varios/sucesiones.pdf
http://ma1.eii.us.es/miembros/mcruz/ICI/SUCES-04.pdf (***)
http://www.satd.uma.es/a_valverde/Calculo/apuntes/TemaC2.pdf
http://ma1.eii.us.es/Material/CI_iti_Bol1_S.pdf
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas/sucesiones.pdf
http://www.maths-express.com/bac-exo/bac-s/cour-s/suite-es/suite.htm
http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/suites.pdf http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/suites.pdf http://maths54.free.fr/maths1/suitnume/math129.html
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas.html
http://matematicas.uclm.es/ind-cr/calculo/files/cap1.pdf
http://www.ugr.es/~fjperez/parcial1_02_sol.pdf
http://www.ugr.es/~fjperez/Ejer_suc_ser_func.pdf

Aquí queda claro el criterio de Stolz:
Se aplica en estos dos casos en a_n/b_n:
a) {b_n} estrictamente creciente/decreciente y lim{b_n}=+/- infinito
b) {b_n} estrictamente creciente/decreciente y lim{a_n}=lim{b_n}=0
y aquí lo vemos mas formalmente:
http://ocw.uc3m.es/matematicas/calculo-i/material-de-clase-1/Tema2.pdf
http://www.uv.es/~anamat/practicas/practanalisi.pdf
http://filemon.upct.es/~juan/docencia/fund/suc.pdf
El criterio de Stolz para la raiz seria Lim = A_n^(1/B_n) donde tomando logaritmos
ln(Lim)=ln(A_n/B_n)=(1/(B_n-B_(n-1))(ln(A_n-ln(A_(n-1)) de donde

lim(A_n)^(1/B_n)=lim(A_n/A_(n-1))^(1/(B_n-B_(n-1)))

Los siete tipos de indeterminaciones que nos podemos encontrar son:
oo-oo, oo/oo, oo*0, 0/0, (oo)^0, 1^(oo), 0^0
Aquí tenemos una buena definición de punto de acumulación que nos puede servir:
http://www.scribd.com/doc/437311/Teoria-de-Conjuntos-y-Funciones
Esta página canaria tambien está bastante bien:
http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/calculo/ficheros/series1.pdf

Y no podia faltar:

http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/prg_analisis1.html

Representación de curvas

Curvas explicitas:
http://apuntesdemates.googlepages.com/representacion.pdf
http://www.gt.matfun.ull.es/angel/apuntes/curvasgr.pdf
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad6.html

Lattice Points

¿Cuantos puntos de coordenadas enteras están situados en una circunferencia de radio R centrada en el origen O(0,0)?
Esto nos lo da la función r(n) sum of squares function y practicamente los podemos obtener con: http://wims.unice.fr/wims/en_tool~number~twosquares.en.html
Así por ejemplo para un R^2=441 la única descomposición que encontramos es
0^2+21^2 que corresponde a 4 puntos.Para R^2=425 obtenemos 5^2+20^2,8^2+19^2 y 13^2+16^2 tres representaciones distintas que nos darían 8*3=24 puntos,para R^2=392 obtenemos 14^2+14^2 una única representación donde no hay cero pero como son iguales solo admite 4 puntos
(+-14,+-14).Los números como 437 no se pueden representar como suma de dos cuadrados al igual que el 437=19*23 los que tienen algún factor primo p que es igual a 3 mod 4 con potencia impar(en este caso los dos el 19 y el 23) no se pueden poner como suma de dos cuadrados.
Si lo queremos todo mas fácil entonces (Sloane's A046109) nos da los puntos situados justo en la circunferencia(en la linea) para R=0,1,2,3...
También podriamos hacer esto con la herramienta:
http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM
contando el número de soluciones de x^2+y^2=R^2

Para el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el interior de un círculo de radio R es N(r) y nos lo da la fórmula Gauss's circle problem y si los queremos directamente para R=0,1,2,3,... (Sloane's A000328).Si queremos seguir enredando N(r) está relacionada con sum of squares function mediante la fórmula N(r)=Sum(r(n),n,0,r^2) que es la suma de todas las posibles representaciones de los radios desde 0 a r^2 como suma de dos cuadrados que los tenemos aquí: A004018
Por ejemplo en una circunferencia de radio 5 cinco vemos que hay por medio de la secuencia A046109 12 puntos enteros en la propia circunferencia, por la A000328 vemos que hay en el interior del circulo de radio 5, 81 puntos enteros que son los mismos que si sumamos desde 0 a 5^2 es decir los primeros 26 términos de A004018
Ahí queda eso.

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Divisibilidad y Primos

En un problema de divisibilidad, las mejores herramientas suelen ser:
si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.
si a / b y b =/=0 entonces el módulo de b es mayor o igual que el módulo de a.

http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202005-06/Material/Aritmetica/Aritmetica.pdf

Dados dos números enteros a y b (con a distinto de 0), se dice que a divide a b, y lo escribimos como a/b,si existe un c∈Z tal que b= ac.
También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a.
Algunas propiedades derivadas de la definición anterior:

1/a
a/0
a/b y a/c ⇒ a/b+c , ab+c o mas generalmente:
a/b y a/c ⇔ a/bx+cy para cualesquiera x, y∈ Z
a/b y b/a ⇒ a = b o bien a = -b

Algoritmo de Euclides

Este método se basa en la siguiente propiedad:
si A y B son enteros entonces DCM(A,B) = DCM(A-B,B)
Pueden encontrar la demostración aquí.

Buscando Primos
Una forma de ver si un número es primo es probar dividirlo por todos los números menores que él y si ninguno lo divide, ¡ganamos!, el número es primo
Sin embargo, el divisor (distinto de n) más grande posible es n/2, así que podríamos probar sólo hasta n/2 en vez de n-1. Pero si n/2 es un número entero que es divisor de n, entonces 2 también es divisor (¡porque n dividido 2 es entero!), pero ya probamos antes si el 2 dividía a n. Así que no hace falta probar con el n/2. Entonces el siguiente divisor más grande posible es n/3, pero por un razonamiento análogo, tampoco hace falta probarlo ya que antes habíamos probado con 3.
¿Hasta cuando podemos repetir esto? Bueno hasta que n/i = i, o sea hasta que n = i^2, o sea hasta que i=sqrt(n). Una forma más formal de ver esto es que si d es un divisor de n, entonces n/d es un divisor de n. Así que en vez de probar con estos dos números hace falta probar sólo con el más chico. Pero si uno es mayor que sqrt(n) entonces el otro es menor que n/sqrt(n) =sqrt(n). Por ello el más chico seguro que es menor que n y entonces sólo hace falta probar hasta sqrt(n)
Vamos a probar si 7247 es primo
Sqrt(7247)=85.129 debemos probar hasta con el número primo menor o igual que 85.129 que
en este caso es el 83

Como lectura esta muy bien el Teorema de los números primos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/16-2-o-primos.html

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Integrales impropias

http://www2.uah.es/josem_salazar/material_docente_quimicas/calculo/teoria/t6/t6.pdf
http://www.masquemates.com/calculo/07-impropias.pdf
http://www.ma2.us.es/pub/indexdocencia.html
http://www.esi2.us.es/~mbilbao/calculo.htm
http://www.ucm.es/info/metodos/programas/ci/ci-pepe.htm#exm
Aqui tenemos hasta videos:
http://www.dmae.upct.es/~juan/videosfund/videosfund.htm
http://online.math.uh.edu/HoustonACT/videocalculus/
y los infinitesimos equivalentes por si los necesitamos:
http://www.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Formula_de_Taylor/infinitesimos.pdf

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Un clásico entre los clásicos

¡¡Greg Gamble!!

Con sus lecturas comencé mis paseos olímpicos por la red.Vaya aquí su nombre para que por lo menos no lo olvide.

http://www.maths.uwa.edu.au/~gregg/
http://www.madras.fife.sch.uk/maths/enrichment/index.html

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Regla de L´Hopital

Si existe el límite para x=>a de f´(x)/g´(x)=l entonces el límite para x=>a de
f(x)/ g(x) es también l.Tanto a como l pueden tomar cualquier valor real e incluso +oo y -oo.
Aquí tenemos un claro ejemplo donde al no existir el limite en el cociente de las segundas derivadas nada podemos decir del cociente de las primeras derivadas y lógicamente tampoco del limite de la función que claramente es uno pero que L´Hopital en este caso no nos dice nada,no es aplicable:
http://www.dougshaw.com/findtheerror/FTELHopital.html
y aqui pongo una buena dirección con problemas de límites de sucesiones para ir abriendo boca:
http://www-ma3.upc.es/users/carmona/teaching/problemas/sucesiones.pdf
El video Nº 46 habla del tema:
http://online.math.uh.edu/HoustonACT/videocalculus/

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Ruffini con ax+b

4x^3-8x^2+2x-1):(2x+1)=(2x^3-4x^2+x-1/2):(x+1/2)=(2x^2-5x+7/2)-(9/4)/(x+1/2) = (2x^2-5x+7/2)-(9/2)/(2x+1)

....................2......-4........ 1.......-1/2
.........-1 /2............-1........ 5/2..... 7/4
----------------------------------------------------
....................2..... -5........ 7/2.....-9/4

Como vemos el cociente es el mismo y el resto que nos da Ruffini al hacer la tabla para x=-1/2 que es el mismo que al sustituir en el polinomio "preparado" x por -1/2 hemos de multiplicarlo por a (2 en el ejemplo)
http://math2.org/mmb/thread/40121

http://www.x.edu.uy/damaso/polinomios%202006.pdf

http://www.purplemath.com/modules/polydiv3.htm

http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/069-072-Division_polinomios.pdf

http://britton.disted.camosun.bc.ca/math073/test2_solution.pdf

Factoreo polinómico:

http://alumno.elsabio.com/tmp/27835.Factorizaci%C3%B3n.doc

La aplicación practica esta aqui:
http://www.math.csusb.edu/math110/src/tools/syn_div_int.html

Aqui lo tenemos bastante claro:
http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/documentos/mate/Ficha_11_Algebra_Polinomios.pdf

Polynomial Computation:
http://icm.mcs.kent.edu/research/demo.html

Adeel Khan polynomial:
http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/PolynomialsAK.pdf

http://matematicapro.googlepages.com/5_10POLINOMIOS_2008.pdf

http://es.scribd.com/doc/34809820/METODO-DE-RUFFINI-Y-TEOREMA-DEL-RESTO

Calculo numerico e iterativo

Aqui tenemos los apuntes de Sevilla:
http://ma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itis.htm

Programación lineal

Solo sabemos hacer Max f(x) sujeto a R, luego si nos sale min f(x) sujeto a R
lo ponemos como Max -f(x) sujeto a las mismas restricciones.Las soluciones
de las variables son las mismas ( por ejemplo x_1=5, x_2=3) para ambos casos y lo único que varía es el valor de la función objetivo que si en el caso de minimizar valía z al sustituir ahora los mismos valores en -f(x) lógicamente nos da -z.Simplemente cambia de signo.
¿Como tratamos las restricciones?
<=)Añadimos una variable de holgura h_1 simplemente x+2y<=5 pasa a ser x+2y+h=5 y aparece un 1 directamente en la matriz unitaria
>=)x+2y>=5 restamos una variable de holgura x+2y-h+a_1=5 y añadimos una artificial a con idea de que aparezca el 1 de la matriz unitaria del problema general
Max f(x) -M(a_1+a_2)
=)x+y=5 para que aparezca el 1 en la matriz unitaria añadimos una nueva variable artificial x+y+a_2=5
Tanto para el método de la gran M como para el de las dos fases vemos que el número de variables artificiales es igual a la suma de los signos >=, y signos = que haya en las restricciones y nos va a definir el número de M's a emplear o de W's en el caso de las dos fases.Los signos <= son los únicos que no generan variables artificiales.
Ponemos un ejemplo:
min x-y sujeto a x+2y>=6,2x+y<=6,4x+y=4 que pasaria a Max -x+y sujeto a las mismas restricciones que bien puestas en forma estandar son: x+2y-h_1+ a_1=6,2x+y+h_2=6,4x+y+a_2=4 y la tabla inicial seria: 1 2 -1 0 0 1 6 2 1 0 1 0 0 6 Max -x+y-M(a_1+a_2) [1] 4 1 0 0 1 0 4 ----------------------------------- 1 -1 0 0 M M 0 Entran con signo cambiado al de [1] ----------------------------------- 1-M,-1-2M,M,0, M, 0 -6M -------------------------------------- 1-5M,-1-3M,M,0, 0 0 -10M Ya tengo las variables basicas a costo 0, y a partir de aqui seguimos el algoritmo del simplex:Entra la que tenga el menor valor de la fila de abajo,la mas negativa es decir 1-5M(entra x) y para ver quien sale min(6/1,6/2,4/4) es decir sale a_2 ... La columna de la variable artificial correspondiente a la igualdad-es las pondremos antes que las que corresponden a >= con idea de que al hacer la fase l solo eliminamos las columnas de las variables artificiales que corresponden a >=.
¿Por qué no podemos eliminar las columnas de las variables artificiales que proceden de igualdades? Porque a lo largo de la fase II pueden llegar a entrar de nuevo como variables básicas es decir que a_i tenga un valor no nulo y si esto ocurre no tiene solución el problema porque la igualdad que corresponde a esa a_1 no es tal igualdad al no ser nula la a_i.
Decíamos que entra en la base la que tiene mayor valor negativo(la mas negativa) y de esa columna pivote hacemos el mínimo de los{b_i/a_i} no pudiendo tomarse los valores de a_i que sean nulos 0 negativos.Si todos los a_i de la columna pivote fueran negativos o nulos estaríamos ante un
problema no acotado.
Si cuando llegamos al óptimo (todos los valores de la fila de abajo son positivos o nulos) ocurre que alguno de esos costes de alguna o varias variables no básicas sean nulos y si hacemos una nueva iteración(entra esta variable de costo nulo y sale como siempre la de su columna con menor b_i/a_i) la función objetivo no varía (puesto que ha entrado una variable de costo nulo) pero estoy en otro punto óptimo.Tendremos en este caso infinitas soluciones,todas las que están en la "recta" que unen esos dos puntos óptimos.

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Taylor Teoremas Max y Min...

Corresponde a la Leccion 1ª,2ª,3ª de Cálculo Ingenieria(En pen):
Lección 1.
Preliminares: funciones, límites y continuidad
Los números reales y la recta real. Funciones y sus gráficas. Límites de funciones. Cálculo de límites. Continuidad y límites laterales. Límites infinitos.
Lección 2.
La derivada
La derivada y el problema de la tangente. Reglas básicas de derivación. Derivadas de orden superior. La regla de la cadena. Derivación implícita. Tasas de variación relacionadas.
Lección 3.
Aplicaciones de la derivada
Extremos en un intervalo. Teorema de Rolle y teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes: el criterio de la derivada primera. Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda. Límites en el infinito. Análisis de gráficas. Problemas de optimización. El método de Newton. Diferenciales. Formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
http://ma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itis.htm (Cálculo numérico)
http://www.ma2.us.es/pub/indexdocencia.html
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.htm http://www.math.scar.utoronto.ca/calculus/Lecture36-rev.pdf
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/bolzano.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_6_1.pdf
http://www.math.ohio-state.edu/~kimr/Math152Su07/lecture/Section%204_4.pdf
http://www.sosmath.com/calculus/indforms/intro/intro.html
http://webpages.ull.es/users/bbonilla/PDF/Anexo3CI.pdf
http://nivel.topografia.upm.es/~mates/primero/Apuntes/Formula_de_Taylor/infinitesimos.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cauchy
http://www.departamento.us.es/edan/asignaturas/BIOM/Apuntes%20Tema4.pdf
Aqui tenemos el calculo diferencial en videos:
http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/ind_dif02.htm#1

Y aqui el Resto de Lagrange:
http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_3_3_3.pdf

Integral par impar

Integral de fnciones pares e impares:

http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series.htm

Integrales funciones trigonometricas pares e impares:

http://www.terra.es/personal2/mozafen/UNED/Mate_III_ADE/Apuntes/trigonometricas.pdf

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Carmichael totient y primitivas

Cálculo de Carmichael y Euler totient:

A primitive root for a prime number p is one whose powers generate all the non-zero integers modulo p. For example, 3 is a primitive root modulo 7 since 3 = 3^1, 2 = 3^2 mod 7, 6 = 3^3 mod 7, 4 = 3^4 mod 7, 5 = 3^5 mod 7, 1 = 3^6 mod 7.

http://home.earthlink.net/~usondermann/eulertot.html

http://math-it.org/Mathematik/Zahlentheorie/Carmichael.html

http://reflections.awesomemath.org/2007_2/carmichael.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n

http://www.brynmawr.edu/math/people/stromquist/numbers/primitive.html

http://www.math.mtu.edu/mathlab/COURSES/holt/dnt/

http://home.comcast.net/~babdulbaki/math/Midys_Theorem.pdf

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Centros de masas y aplicaciones

http://www.math.sunysb.edu/~girao/paper_eureka/eureka.pdf
http://raulsmtz.files.wordpress.com/2011/02/areas-centros-de-gravedad-y-momentos-de-inercia.jpg
http://mathcircle.berkeley.edu/mpgeo/mpgeo.html

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Pell Equation

http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/monografias/basic/alanya_ps/cap8.pdf http://www.math.fau.edu/Richman/pell-m.htm
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html
http://www.math.mtu.edu/mathlab/COURSES/holt/dnt/pell4.html
http://frontend.bioinfo.rpi.edu/zukerm/cgi-bin/dq.html

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Paridad

Perelman nos enseña paridad:

http://www.geocities.com/problemasyexperimentos/cap24em.html

http://www.dma.fi.upm.es/fleury/algofitmoFleury.htm

http://www.professeurs.polymtl.ca/michel.gagnon/Disciplinas/Bac/Grafos/EulerHam/euler_ham.html

http://www.unizar.es/ttm/2006-07/TOPOLOGIAI07.doc


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Función generadora estádistica

f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nx^n donde a_i=P(X=i)

f(1)=1
E(X)=f '(1)
Var(X)=f ''(1)+f '(1)-(f ''(1))^2

http://math.albany.edu/~mark/classes/367/index.html

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Area de una región poligonal

Este es un metodo practico para octener el area de una región poligonal

http://www.arrakis.es/~mcj/notas009.htm

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Congruent and Similar Triangles

Cuidado con los casos que no son correctos:

http://www.gomath.com/members/test/tutorial/section23/p1.html

http://www.onlinemathlearning.com/congruent-triangles.html#aas

http://www.onlinemathlearning.com/similar-triangles.html

http://www.onlinemathlearning.com/triangle-inequality.html

http://www.mathwords.com/s/similarity_tests_for_triangles.htm

El fallo:
http://mathforum.org/library/drmath/view/54659.html

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml

Lo mejor de la igualdad con los cuatro criterios:
http://www.educa.madrid.org/web/cp.claracampoamor.fuenlabrada/flash/area/matematicas/378.swf
http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm

Lo mas claro de la semejanza:
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/semej3.htm
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm

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Combinations with Duplicate Objects

Todo un clasico en estas tierras:
http://mathforum.org/library/drmath/view/56197.html

y no podia faltar El primcipio de Inclusión Exclusion

http://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math391I/Inclusion-Exclusion.pdf

La generalizacion del principio está en el Grimaldi y en mi fichero titulado
"Divisibilidad y Venn" en el otro blog:

http://leonsotelo.wordpress.com/2008/12/05/divisibilidad-y-venn/

http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/courses/hw6.pdf

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Resto chino de E.L. Lady

Elegante manera del famoso teorema
http://www.math.hawaii.edu/~lee/courses/Chinese.pdf

Resto chino sofisticado:
http://math2.org/mmb/thread/39678

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Aproximacion Normal Binomial Poisson

En la practica se utiliza la aproximación de Binomial a la Normal cuando :
n>=30, np>=5, nq>=5
La Binomial podemos aproximarla a una distribución de Poisson donde el número de pruebas es muy alto, pero la probabilidad de éxito muy baja
si n>50 y p<0.1 y np<5
La de Poisson la podremos aproximar a la Normal si np>5
No olvidar las correcciones por continuidad.

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Tests convergencia series

http://pirate.shu.edu/projects/reals/numser/index.html
http://www.math.duke.edu/%7Ecbray/0607Spring/41/SeriesTests.pdf
Y registra en este último enlace que hay de todo y bueno

La suma de una serie hipergeometica en la que a_n+1/a_n=(an+b)/(an+c) con a>0 b=/=0 y a+b-c =/=0 converge cuando (c-b)/a>1
Ver problema IV-59 del Tebar Flores. donde vemos que:
en el intervalo donde converge su suma lo hace al valor S=c*a_1/(c-a-b) donde
a_1 es el primer termino.

http://www.matap.uma.es/~calcomp/apuntes/TemaC2.pdf
http://www.escet.urjc.es/~matemati/cal_itilade/T1.pdf
http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/Series_Potencias.pdf

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Estadistica

Medidas de posición.Centiles...
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema3.pdf
Medidas de centralización.Medias, modas...
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema4.pdf
Medidas de dispersión.Varianzas...
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema5.pdf
Correlación lineal
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema10.pdf
Regresión lineal
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema12.pdf
Modelos de Distribuciones
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema20.pdf
Distribuciones muestrales
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema21.pdf

Si por S representamos Suma tenemos:
Med(x)= S(x)/n Med(y)=S(y)/n
Var(x)=S(x^2)/n -(Med(x))^2 Var(y)=S(y^2)/n-(Med(y))^2
Var(xy)=S(xy)/n-Med(x)*Med(y)
r=Var(xy)/Sqrt(Var(x)*Var(y))
y/x) y-Med(y)=Var(xy)/Var(x)*(x-Med(x))
x/y) x-Med(x)=Var(xy)/Var(y)*(y-Med(y))
y aqí lo tenemos computerizado:

http://www.iesmurgi.org/matematicas/materiales/correlacion/secciones/problema/proceso.php Como en el plano cartesiano la y son ordenadas y las x son abcisas los coeficientes angulares de las rectas(con las y despejadas para poder representarlas en el mismo plano cartesiano) son m(y/x)=Var(x,y)/Var(x)
y m(x/y)=Var(y)/Var(x,y) por lo que m(y/x)*(1/m(x/y))=r^2
4y=15x+10 m1=15/4
64x=15y-110 m2=64/15; 1/m2=15/64
r^2=(15/4)*(15/64)=(15/16)^2

Aqui dos buenos formularios:

http://150.214.179.49/Asignaturas/EUP/metodos/formulario.pdf
http://www3.uji.es/~mateu/formulario.doc

Y unos buenos y claros apuntes de la uhu
http://www.uhu.es/45110/apuntes.htm

El numero de intervalos para una distribución de datos agrupados se hace aproximadamente igual a la raiz cuadrada del número de datos y múltiplos de 2,3,5,10 y 20.
Aquí tenemos ejemplos:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/solucionlibroa/unidad14.pdf

León-Sotelo

Multiplicadores de Lagrange

f(x,y) es la función a maximizar o minimizar
R1(x,y)=0
R2(x,y)=0 son las restricciones
¡ojo! igualadas a cero
Formamos la función Lagrangiana siguiente:
f(x,y)=p*R1(x,y)+q*R2(x,y)

Derivamos respecto a x,y,p y q que nos dan cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que resuelven el problema.
He aquí un problema resuelto de un parcial de Teleco-Sevilla
http://hercules.us.es/~mbilbao/pdffiles/ct2k6p2.pdf
Aquí el manejo del Hessiano por una vez:
http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/slgonzal/matematicas1_archivos/tema4-optimizacion.pdf
http://www.monografias.com/trabajos35/discriminante-o-hessiano/discriminante-o-hessiano.shtml#matriz

http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema12.htm

http://www.satd.uma.es/matap/svera/probres/pr3/pr3a3_1.html#extremos

León-Sotelo

Trigonometic functions representation

Estudiamos aqui las representaciones de las seis en la circunferencia unitaria

http://www.themathpage.com/aTrig/line.htm
http://www.ies.co.jp/math/java/trig/sixtrigfn/sixtrigfn.html
http://mathplotter.lawrenceville.org/mathplotter/mathPage/trig.htm
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Ecuación diferencial lineal

Ecuación canonica: y'+P(x)*y=Q(x)

y'+4y=x^2e^(-4x) , (D+4)y=0, D=-4, y(h)= Ce^(-4x)
por variacion de las constantes:
-C*4x*e^(-4x)+C'e^(-4x)+4Ce^(-4x)=x^2*e^(-4x)
C'=x^2 C=x^3/3+K que sustituida en y(h) da:
y=(x^3/3+K)*e^(-4x).Podemos comprobarla con "solucia":

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=P65264EDA6.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Fsolucia.en

Algoritmo Gauss Jordan

Aqui podemos ver bien la evolución del famoso algoritmo por ejemplo metiendole una matriz de 5x5.

http://www.gregthatcher.com/Mathematics/GaussJordan.aspx

Da lo mismo hacer ceros en cada una de las columnas dejando en cada columna un solo uno que hacer ceros por debajo de la diagonal principal y una vez hecho esto hacer ceros por encima de la diagonal principal.

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Enteros consecutivos

The number of ways in which n may be expressed as a sum of one or more consecutive positive integers is equal to the number of positive odd divisors of n.
50! = 2^47 × 3^22 × 5^12 × 7^8 × 11^4 × 13^3 × 17^2 × 19^2 × 23^2 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47
Divisores impares:23*13*9*5*4*3*3*3*2^6=93.000.960 formas de expresar 50! como suma de enteros consecutivos.


http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Secondary_Units/consecnumbers.aspx
http://www.nzmaths.co.nz/PS/L5/Algebra/JacksonsCon.aspx
http://mathforum.org/library/drmath/view/55979.html
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/MercheSanchez/Problema%20numeros.pdf

http://centromatematico.uregina.ca/mp/previous2002/feb03sol.html
http://www.qbyte.org/puzzles/p092s.html

http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=507&part=solution

Euler totient

Si mcd(a,m)=1 entonces a^fi(m)=1 mod m

Hallar los dos ultimos digitos de N=17^19^23^29^31^37.

17^19^23^29^31^37 (mod 100) fi(100)=40

19^23^29^31^37 (mod 40) fi(40)=16

23^29^31^37 (mod 16) fi(16)=8

29^31^37 (mod 8) fi(8)=4

31^37 (mod 4) fi(4)=2

37 (mod 2) fi(2)=1 Ahora procedemos al revés:

37=1 (mod 2)

31^37 =31^1=31=3 (mod 4)

29^31^37 =29^3=5^3=5 (mod 8)

23^29^31^37= 23^5=7^5= 7 (mod 16)

19^23^29^31^37 = 19^7=19 (mod 40)

17^19^23^29^31^37 =17^19= 53 (mod 100) que son los dos ultimos digitos

León-Sotelo

Cartesian coordinate systems

Lo mejorcito de la red respecto a ejes coordenadas esféricas, cilíndricas etc... lo tienen los de teleco en Sevilla justo en la cátedra de Antonio Gonzalez:
http://laplace.us.es/campos/teoria/teoria.php
Polares: http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2414/PolarCoordinates.asp
Esféricas: http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym1/sld0014.htm
Cilíndricas:http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym1/sld0011.htm
Translación y rotación de ejes:
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas#Traslaci.C3.B3n_del_origen
http://www.azc.uam.mx/cyad/procesos/website/cursos/INTER/1Transformación.htm
Orden: Si B^2-4AC=0 primero rotación y después translación.Si B^2-4AC<>0 lo hacemos a la inversa.B es el término en xy.

Pappus Guldin:http://www.cpgec.ufrgs.br/morsch/mecanica/aula/a13.pdf

Nabla Gradiente y Rotacional:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/vector/operador_nabla.htm

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Miscelanea

Un nombre premier n'a que deux facteurs : 1 et lui-même.
Un nombre composé a plus de deux facteurs.
Le nombre 1 n'est ni un nombre premier, ni un nombre composé.

Hablando de Taylor:
The degree is the degree of the polynomial, and the order is the order of the derivative

El cero no tiene mas que un múltiplo.El propio cero
mismo.Es múltiplo de cualquier número.Es múltiplo universal

El 1 no tiene mas que un divisor.Él mismo.
El 1 divide a cualquier número.Es divisor universal.

Abs (x)=distancia de x al origen.Así Abs(0)=0
Abs(x)= x si x>=0
Abs(x)=-x si x<0

http://www.fmat.cl/index.php?act=attach&type=post&id=15384
(meter contraseña leonsotelo magdalena)

http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve3/s34/s34/s34.html
http://regentsprep.org/REgents/mathb/7D8/absinequal.htm
http://www.sci.wsu.edu/~kentler/Fall97_101/nojs/Chapter2/section6.html
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/grupo11m-1/feb00sol.pdf
Si de todos modos hubiera problemas partimos la inecuación en trozos segun sus valores significativos y vamos probando in
tervalo por intervalo.Lo mas comodo es aquí claro:
http://www.hostsrv.com/webmab/app1/MSP/quickmath/02/pageGenerate?site=quickmath&s1=inequalities&s2=solve&s3=basic

Division by cero is Undefined. 0/0 is indeterminate, 1/0 is undefined

En las ecuaciones funcionales la sustituciones de x=>(por otro valor) se realizan siempre en la primera ecuación funcional

Ordered pairs of positive integers (a,b) it means the order matters when we list the pairs. In other words (3,1) is different from (1,3).

Recuerda que si n es par la fórmula correcta es
(a^n)^(1/n) = a para n par o sea sqrt((-3)^2)=-3=3

sqrt(p) es irracional si p no es un cuadrado perfecto
p^(1/n) es irracional si p no es una potencia n-esima

Pentagrama y Phi

In this next figure (pinchar enlaces de abajo) is a regular pentagon with an inscribed pentagram.All the line segments found there are equal in length to one of the five line segments described below:The length of the black line segment is 1 unit.The length of the red line seqment, a, is Ø. The length of the yellow line seqment, b, is 1/Ø. The length of the green line seqment, c, is 1, like the black segment. The length of the blue line seqment, d, is (1/Ø)2, or equivalently, 1 - (1/Ø), as can be seen from examining the figure. (Note that b + d = 1).

http://kjmaclean.com/Geometry/PentOverview.html

Ver:http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/pentagramratios.gif

Aqui tenemos las potencias de Phi:
http://i113.photobucket.com/albums/n205/leonsotelo/fipot.gif

Y aqui historias de Phi,Fibonacci,... para no perderselo

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/propsOfPhi.html#powers

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Ceva, Menelao,Ptolomeo,Cateto...

Ceva:http://agutie.homestead.com/files/ceva.htm
Menelao:http://agutie.homestead.com/files/menelaus1.htm
Ptolomeo1:http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm
Ptolomeo2:http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/PG/Ptolemy.html
Stewart:http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfStewartsTheorem.html
Geometria:http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm
Cateto:http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/prop_dir.htm
Aqui pongo una generalizacion n-dimensional para el teorema del cateto
y de Pitágoras:
http://descartes.cnice.mecd.es/m_Geometria/t_cateto/index.htm

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Ecuación general 2º grado

La ecuación general de segundo grado en dos variables es:
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
Esta ecuación representa siempre una curva cónica.
Si b²-4ac < 4ac =" 0">0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una hipérbola o dos rectas.
Aqui la tenemos estudiada según los signos:

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/Ecuaciones_2grado.html

Aqui podems ver otra forma de distinguir las conicas:

http://www.youtube.com/watch?v=H-Hs-xF1MQ0&feature=related

Y las fórmulas que en el video se ven:

http://www.supercable.es/~josegarrido/formulario%20conicas.pdf

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Telescópica tangente

1º=(n+1º)-n
tg((n+1º)-n)=tg(1º)=tg(n+1)-tg(n)/1+tg(n+1)*tg(n)
tg(n+1)*tg(n)=(tg(n+1)-tg(n)-tg(1º))/tg(1º) o bien:
tg(n+1º)-tg(n)=sen(n+1º)/cos(n+1º)-sen(n)cos(n)=
sen(n+1º)cos(n)-cos(n+1º)sen(n)/cos(n+1º)cos(n)=
sen(n+1º-n)/cos(n+1º)cos(n)=
sen(1º)/cos(n+1º)cos(n)
Así (tg(n+1º)-tg(n))/sen(1º)=1/cos(n)cos(n+1º)

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The cubic

sin[3x] = 3 sin[x] -4(sin[x])^3 (a)
cos[3x] = -3 cos[x] + 4(cos[x])^3 (b)
sinh[3x] = 3 sinh[x]+ 4 (sinh[x])^3 (c)
cosh[3x] =4 (cosh[x])^3 — 3 cosh[x] (d)

Ejemplo 1:
En x^3-6x=1 hacemos x=a*cos(x)
4a^3*(cos(x))^3-6acos(x)=1 y la comparamos con (b)
4a^3/6a=4/3 => a=2sqrt(2)
4(cos(x))^3-3cos(x)=sqrt(2)/2=> cos(3x)=sqrt(2)/2
x=15º,135º,255º... x=2sqrt(2)/2*cos135º=-2
Ya tenemos la descomposición:
(x+2)(x^2-2x-2)
Si la ecuación propuesta hubiese sido x^3+6x=4
la comparariamos con(c) y x=0.625816818...

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Sumas de cuadrados producto

(a^2+b^2) (A^2+B^2) = (aA+bB)^2 + (aB-bA)^2

(a^2+b^2+c^2+d^2) (A^2+B^2+C^2+D^2) = (aA+bB+cC+dD)^2 + (aB-bA+cD-dC)^2 + (aC-bD-cA+dB)^2 + (aD-dA+bC-cB)^2

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+^z^2)=(ax+by+cz)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2+(ay-bx)^2

http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1343
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20005.5.shtml
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20008.5.shtml

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Discontinuidades

Algún día acabaremos poniéndonos de acuerdo con las dichosas discontinuidades.Como siempre me ha interesado el tema expongo lo mas fresco que tengo.Lo primero que haría es una gran división en dos grupos entre las evitables y las no evitables para coincidir con los textos ingleses( removable and no removable ).Una aclaración inicial,si la función vale infinito mas que decir que no existe es mejor decir que no está definida y los limites si son infinitos no existen.El infinito no es nada.Recuerda que está en la puerta Osario. Grupo 1 para las discontinuidades evitables,este grupo creo que lo tenemos muy claro todos y se refiere a aquellas en que existe el límite en el punto y es finito (lo que implica la igualdad y finitud de los límites laterales) pero dicho límite o bien es distinto del valor de la función en el punto o la función no esta definida en ese punto.Es decir las evitables son todas aquellas que tienen limite y ademas finito pero que no coincide este con f(a) por alguno de los dos motivos anteriormente expuestos. Grupo 2 para las discontinuidades que no se pueden evitar, las verdaderas discontinuidades,las No evitables.Son las que no tienen limite.Incluimos aquí aquellas que no tienen limite,bien porque alguno de los limites laterales es infinito,bien porque oscile y no alcance un valor determinado,bien porque en ese extremo carece de limite porque no existe ni la funcion en ese punto... Las discontinuidades no evitables que pueden ser: a)Discontinuidades no evitables de 1ª especie o de salto finito en las que ambos limites laterales existen y son ambos finitos pero no coinciden por ser desiguales el de por la izquierda y el de por la derecha,independientemente de que exista o no exista f(a). b)Discontinuidades no evitables de 1ª especie o de salto infinito en las que uno de los limites laterales es finito y el otro infinito o ambos infinitos de distinto signo.(Si los limites son infinitos de igual signo hablariamos simplemente de discontinuidad asintotica ) c)Discontinuidades no evitables de 2ª especie. Si no existe alguno de los limites laterales. (Tipo y=sen pi/x para x=0) Lo que en habla inglesa se llama Essential discontinuity Wikipedia afina un poquito mas(ver ejemplos): http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades F(x)=(x-2)(x+2)(x-5)/(x-2)(x-7) Raíces en x = -2 y en x = 5 Discontinuidad evitable en x = 2 Asíntota vertical en x=7 Para que una función sea continua en un punto a es necesario y suficiente que: 1)Exista el valor de la función en el punto a, es decir f(a) y este sea finito 2)Existan los limites laterales y sean finitos e iguales entre sí e ... 3)Iguales a f(a) Aquí tenemos apuntes y ejercicios nivel Cou bastante buenos: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Partes/recreativa.html http://mshs-staff.asfm.edu.mx/~wells_dennis/NotesFDWK/2_3.pdf La continuidad en los endpoints: According to the basic definition, we would have to say that sqrt(x) is not continuous at 0. 0 is an endpoint of the domain of sqrt(x),then only one of the two one side-limits can possibly exist.So it is simply imposible to have lim [f(x),x=> 0].But then that means no function can ever be continuous at the endpoints of its domain.So, if f has domain [a,b] we will say that f is continuous at a if and only if the right hand limit a agrees with f(a) and we say that f is continuous at b if and only if the left hand limit at b agrees with f(b)."If f is defined on one side of an endpoint of the interval,we understand continuous at the endpoints to mean continuous fron the right or continuous from the left."(sic). My conclussion after reading: f(x)=sqrt(1-x^2) is continuous at [-1,1], with limit 0 at -1 and 1, but it is not continuous at the points 1 and -1. A function is continuous at one closed interval [a,b] if it is continuous at all the points of the open interval ]a,b[ and it is continuous im a by the right hand and by the left hand in b.If the function is continuous in the open interval ]a,b[ if it is continuous in all the points of the interval. http://usuarios.lycos.es/manuelnando/apunteslimites.htm http://matematica.50webs.com/continuidad.html http://www.ugr.es/~crosales/limites.pdf http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Continuidad/TContinuidad.htm First kind discontinuity is when leftlimit and right limit exist and are both finite.All other kinds of discontinuities are second kind discontinuity (leftlimit or right limit is infinite (1/x for example) , or no limit(sin(1/x) in 0 for example)). On dit que f présente une discontinuité de première espèce en a si leslimites à gauche et à droite de a existent (en convenant que lorsque aest une extrémité de I seule l'existence de la limite à gauche ou àdroite est requise) De todos modos aqui tenemos otra forma de considerar las discontinuidades mas al estilo de Rey Pastor/Castro Brzezicki en sus "Elementos de Matemáticas" que no se puede perder de vista porque persiste en mas autores http://books.google.com/books?id=Rk3ImXQqp7QC&pg=PA71&lpg=PA71&dq=discontinuidad+segunda+especie&source=web&ots=Lj1Vaboqkp&sig=q00kr6Y_TcxjeZy5yYwACg2Pjyg Esta está muy bien: http://www.ort.edu.uy/fi/pdf/haim.pdf y no podia faltar: http://www.gatago.org/es/ciencia/matematicas/47545121.html y esto todavia aclara cosas: http://people.hofstra.edu/stefan_waner/Realworld/calctopic1/canddex.html Hoy 24/11/2007 he encontrado otra cosita: http://www.masquemates.com/continuidad.htm Y todavia algo mas: http://books.google.es/books?id=Rk3ImXQqp7QC&pg=PA71&lpg=PA71&dq=continuidad+sin+levantar+lapiz+papel&source=bl&ots=LkXZi6qygl&sig=cZboYU7gCYncNhk72bxtZCinI20&hl=es&ei=9xLmSePWDM7N-Qbv572OCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#PPA71,M1 Y mas... http://canek.uam.mx/ Al final volvemos a Bachillerato repasamos y nos acabamos de enterar por fin: http://platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/PFDN/1%20BCT%2009%20Continuidad.pdf http://platea.pntic.mec.es/jarias/bruno/PFDN/1%20BCT%2009%20Continuidad%20profe.pdf De momento dejamos establecida la clasificación que da Vitutor: http://www.vitutor.com/fun/3/b_5.html León-Sotelo Con fecha 11/06/2010 en esta mi lucha por estandarizar la clasificación de las discontinuidades me arriesgo a recomendar el uso de cualquiera de estos dos enlaces. http://www.clasesdeapoyo.com/documents/search/3059 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Continuidad_1D.pdf De esta forma coincidimos hasta con los de habla inglesa: http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/disconti.html El tema asintótico cuando los limites son infinitos y del mismo signo queda claro aqui: http://80.59.24.98/Joomla/IES/Departamentos/Matematicas/Matematicas/Rogelio/matem/Continuidad.pdf Y mis conclusiones están aqui de una vez resumidas : Clasificación de las discontinuidades: http://leonsotelo.wordpress.com/2010/06/12/discontinuidades/ En plan bestia se puede ver aqui: http://leonsotelo.wordpress.com/2010/06/13/discontinuidades-a-lo-bestia/ Al final un problema bien hecho,como Dios manda: http://www.clasesdeapoyo.com/documents/show?id=3341 Aquí estan la inmensa mayoria de sus tipos en esta galeria de discontinuidades de wikipedia donde todas están dibujadas:

Buscar en Google "Galeria de discontinuidades wikipedia" o bien:

http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades#Galer.C3.ADa_de_discontinuidades

Eres lo que comes(Para Bea)

12 Min 81.4 AM 81.40 12 Mayo
14 Min 81.0 AM 81.20
15 Min 80.9 AM 81.10
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17 Min 81.1 AM 81.06
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20 Min 80.5 AM 80.86
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29 Min 80.2 AM 80.62
30 Min 80.2 AM 80.60
31 Min 80.0 AM 80.57
05 Min 79.7 AM 80.52
06 Min 79.8 AM 80.49
07 Min 79.5 AM 80.44
08 Min 79.5 AM 80.40
09 Min 79.9 AM 80.38
10 Min 79.4 AM 80.35
11 Min 79.2 AM 80.30
12 Min 79.2 AM 80.26
13 Min 79.6 AM 80.24
14 Min 79.6 AM 80.22
15 Min 79.1 AM 80.18
16 Min 79.6 AM 80.14
17 Min 79.3 AM 80.12
18 Min 79.1 AM 80.09
19 Min 79.1 AM 80.06
20 Min 79.4 AM 80.04
21 Min 79.2 AM 80.02
22 Min 79.1 AM 79.99
23 Min 78.9 AM 79.97
24 Min 78.8 AM 79.94
25 Min 78.7 AM 79.90
27 Min 78.8 AM 79.88
28 Min 79.2 AM 79.86
29 Min 78.6 AM 79.83
30 Min 78.8 AM 79.81
01 Min 78.8 AM 79.79
03 Min 78.5 AM 79.76
04 Min 78.6 AM 79.73
06 Min 78.5 AM 79.71
08 Min 78.0 AM 79.67
09 Min 78.1 AM 79.64
10 Min 78.0 AM 79.61
11 Min 77.7 AM 79.57
12 Min 78.3 AM 79 55
13 Min 78.0 AM 79.52
29 Min 78.0 AM 79.49 29 Sept
30 Min 77.9 AM 79.46
01 Min 77.5 AM 79.43
02 Min 77.5 AM 79.39
03 Min 77.9 AM 79.37
05 Min 77.7 AM 79.34
07 Min 77.1 AM 79.30
08 Min 77.7 AM 79.28
09 Min 77.6 AM 79.25
10 Min 77.5 AM 79.22
12 Min 77.4 AM 79.20
13 Min 77.3 AM 79.17
14 Min 77.0 AM 79.14
15 Min 77.3 AM 79.11
16 Min 77.2 AM 79.08
17 Min 77.2 AM 79.05
18 Min 77.2 AM 79.03
22 Min 76.8 AM 79.00
23 Min 76.8 AM 78.97
25 Min 77.3 AM 78.94
27 Min 77.2 AM 78.92
28 Min 77.0 AM 78.89
29 Min 77.1 AM 78.87
10 Min 77.0 AM 78.85
11 Min 77.0 AM 78.82
20 Min 77.0 AM 78.80
23 Min 76.9 AM 78.78
25 Min 76.9 AM 78.75
05 Min 77.9 AM 78.74 Febrero 2008
05 Min 81.4 AM 78.78 Noviem 2009(Pilates)
06 Min 80.9 AM 78.80
07 Min 80.7 AM 78.82
09 Min 80.4 AM 78.84
15 Min 80.4 AM 78.86
16 Min 80.2 AM 78.87
18 Min 80.0 AM 78.89 Bea casi 1
23 Min 80.2 AM 78.9030 Min 83.3 AM 78.95-D 4.35 30/09/2011
01 Min 83.3 AM 78.99-D 4.31
02 Min 83.2 AM 79.04-D 4.16
03 Min 82.9 AM 79.08-D 3.82
04 Min 82.7 AM 79.12-D 3.58
05 Min 82.6 AM 79.15-D 3.45
06 Min 82.8 AM 79.19-D 3.61
07 Min 82.5 AM 79,22-D 3.27
08 Min 82.4 AM 79.26-D 3.14
09 Min 82.0 AM 79.28-D 2.71
10 Min 82.1 AM 79.31-D 2.78
11 Min 81.8 AM 79.34-D 2.45 Ya vemos el 1
12 Min 81.9 AM 79.36-D 2.53
13 Min 81.9 AM 79.39-D 2.50
14 Min 81.5 AM 79.41-D 2.08
15 Min 81.5 AM 79.42-D 2.07
16 Min 81.6 AM 79.44-D 2.15
17 Min 81.3 AM 79.46-D 1.83
18 Min 81.3 AM 79.48-D 1.81
19 Min 81.0 AM 79.49-D 1.50 Tímidamente he visto el cero.
20 Min 81.3 AM 79.51-D 1.78
21 Min 80.9 AM 79.52-D 1.37
22 Min 80.9 AM 79.53-D 1.36
23 Min 80.8 AM 79.54-D 1.25
24 Min 80.7 AM 79.55-D 1.14
25 Min 80.4 AM 79.56-D 0.83
26 Min 80.7 AM 79.57-D 1.12
27 Min 80.2 AM 79.58-D 0.61
28 Min 79.9 AM 79.58-D 0.31    El 9 y el 7 de una vez
29 Min 79.5 AM 79.58-D 0.08    Estamos en el corte
30 Min 79.0 AM 79.57-D 0.57
31 Min 78.9 AM 79.57-D 0.67   Aparece el 8
32 Min 78.6 AM 79.56-D 0.96
33 Min 78.3 AM 79.55-D 1.25
34 Min 77.8 AM 79.54-D 1.74   Aparece el 7
35 Min 76.6 AM 79.45633147 D2.85 La mejor pero hay que seguir CAÑA.



De aquí calculamos las calorías necesarias y
el índice de masa corporal I.M.C 81/(1.64)^2
http://www.hipocrates.com/peso/
http://www.mujerdeelite.com/calculadoras/calorias_necesarias.php
http://www.mujerdeelite.com/calculadoras/calorias_necesarias.php
y el peso ideal que es nuestro objetivo: ¡El 69!
y además vestido

http://www.latinsalud.com/meters/peso_med.asp
http://dietasparaadelgazar.jaimaalkauzar.es/
Consulta del Doctor Luengo:
http://www.drluengo.net/Web4.htm

I.M.C. mas mono
http://www.ocu.org/IMC/

Variacion constantes

Sea la ecuación diferencial y'''+my''+ny'+py+q=Q(x)
Haciendo variables con x los parámetros en principio
constantes en la homogénea obtenemos el sistema
que resolvemos por Cramer calculando L',M'yN' que
una vez integradas nos dan L,M y N

L'y(1)+ M'y(2)+N'y(3)=0
L'y'(1)+M'y'(2)+N'y'(3)=0
L'y''(1)+M'y''(2)+N'y''(3)=Q(x)

L,M,N son las tres constantes que acompañan a cada una
de las tres soluciones de la homogénea y que varían al
hacerlas depender de x: L=L(x),M=M(x),N=N(x)

Véase capítulo IV página 113
http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Suma y Producto de Divisores

Partimos de la descomposición prima de N=p^a*q^b*r^c

El número de divisores positivos de N es D=(a+1)(b+1)(c+1)
La suma de todos sus divisores seria:

S=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)(1+r+r^2+...+r^c)=
(p^(a+1)-1/p-1)*(q^(b+1)-1/q-1)*(r^(c+1)-1/r-1)

Y el producto de todos sus divisores P=N^(D/2)=Sqrt(N^D)

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Raices.E.D.O. homogeneas

Si las raices del polinomio P(D)=0 son:
r_1=1 (Raiz simple)
r_2=2 (Raiz doble)
r_3=3+4i (Raiz triple)
La solución de la homogenea es:

y_h=A*e^x+(Bx+C)e^2x+e^3x[(Dx^2+Ex+F)cos(4x)+(Gx^2+Hx+I)sen(4x)]

León-Sotelo

Razones y proporciones

a/b=c/d => a:b=c:d b y c medios a y d extremos
a/b=c/d sumando 1 a cada lado a+b/b=c+d/d
a/b=c/d restando 1 a cada lado a-b/b =c-d/d

a/b=c/d=e/f =a+c+e/b+d+f
a/b=c/d=e/f =a+c-e/b+ d-f
a/b=c/d=e/f =a-c+e/b- d+f

En general vale cualquier combinacion lineal:

a/b=c/d=e/f => pa/pb=qc/qd=re/rf
a/b=c/d=e/f = pa- qc+re/ pb- qd-rf

Aquí los portugueses nos dicen algo al respecto:

http://www.somatematica.com.br/fundam/propor.php
(leonsotelo magdalena)

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Desarreglos k puntos fijos

La formula para desarreglos con ningun punto fijo:

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + n!/4! - ... + (-1)^n*n!/n!

La fórmula de los desarreglos con k puntos fijos:

D(n,k)=(n!/k!)*Sum((-1)^k/k!,k,0,n-k)) que coincide para n grande y k fijo con (n!/k!)*e^(-1)

Así se ve o se recuerda mejor:
D(n,k)=C(n,k)*D(n-k)

Generalización Binomial Theorem:

(-1)^k*C(n+k-1,k))=C(-n,k)

Ejemplo:1/(1+x)^7=(1+x)^(-7)=C(0+7-1,0)-C(1+7-1,1)X+C(2+7-1,2)-...
=C(6,0)-C(7,1)x+C(8,2)x^2-C(9,3)x^3+...=1-7x+28x^2-84x^3+...

También (-1)^(n+k) C(k-1,n-1)=C(-n,-k)

(sacado de Introduction to Combinatorial Mathematics de Liu)
Para andar por casa:

C(-7,3)=(-7)(-8)(-9)(10).../(-10)(-11)(-12)...*3!=-(7*8*9)/3! = -C(7+3-1,3!)
C(-3,-7)=(-3)!/(4!)*(-7)!=(-3)(-4)(-5)(-6)/4!=C(6,2)=15



Permutaciones circulares muy claritas.Profesor theta:
http://www.ilovemaths.com/classroom.asp
http://www.ilovemaths.com/3permcirc.asp

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Regla signos de Descartes

La regla de Descartes se aplica a polinomios de coeficientes reales puesto que si fueran complejos no podríamos saber cuando cambian de signo.

La disminución en un número par de veces se debe a la aparición de las conjugadas de las raíces complejas cuando los coeficientes son reales.

http://gaussianos.com/la-regla-de-los-signos-de-descartes/
http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm
http://www.mitecnologico.com/ic/Main/ReglaDeLosSignosDeDescartes
http://www.youtube.com/watch?v=sj_vgQsKPAc

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Integral.Error

S(n)= f(1)+f(2)+...+f(n) es una sobrestimación de
Int(f(x),x,1,n+1)
S(n)-f(1)=a(2)+a(3)+...+f(n) es una subestimación de
Int(f(x),x,1,n)
Int(f(x),x,1,n+1)<=S(n)<=f(1)+Int(f(x),x,1,n) Int(f(x),x,n+1,oo)<=Error=S-S(n)<=Int(f(x),x,n,oo) La ampliación de todo esto en: http://www.math.tamu.edu/~mbelk/RemaindersIntegral.pdf
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/series.7/index.html

Un buen enlace para Simpson,formula del trapecio,punto medio etc
http://gata.uv.es/~mulet/cursos/cn/intnum.pdf

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Palíndromos o Capicuas

a(n)= número de capicuas menores que 10^n

a(n)=2(10^(n/2) -1) si n es par
a(n)=11(10^(n-1)/2) -2 si n es impar


Number of nonzero palindromes less than 10^n.
9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998, 1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998, 10999999998, 19999999998, 109999999998, 199999999998, 1099999999998

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